수의 나눗셈
수의 나눗셈은 수의 곱셈을 거꾸로 하는 계산이다. 또 나눗셈은 좋은 농담거리이기도 하다. 다들 알다시피 0으로 나누면 안 되기 때문이다. 0으로 나누면 공책이 불타 버린다나.
수의 나눗셈이란
나눗셈은 큰 덩어리를 같은 크기의 작은 조각으로 나누는 것으로 생각할 수 있다. 예를 들어 아빠가 길이 100 cm인 판자를 같은 길이의 다섯 조각으로 잘라야 한다고 하자. 한 조각의 길이는 얼마일까?
거꾸로 생각할 수도 있다. 자른 다섯 조각의 길이를 모두 더하면 다시 100이 나와야 한다. 어떤 수가 이것을 만족할까? 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100이므로 답은 20이다. 덧셈 대신 곱셈을 쓸 수도 있다. 5를 곱해서 100이 되는 수는 무엇일까? 역시 5 · 20 = 100이므로 20이다.
그림으로는 길이가 100인 선분을 같은 길이의 다섯 부분으로 나누는 것으로 나타낼 수 있다.
100을 5로 나눈다는 것은 “100 안에 5가 몇 번 들어가는가”를 알아보는 것이다. 나눗셈은 빗금을 써서 100 / 5로 쓰거나, 한국에서 흔히 쓰는 기호 ÷를 써서
- a를 나누어지는 수라고 한다.
- b를 나누는 수라고 한다.
- c를 몫이라고 한다.
곱셈을 이용한 정의
몫은 곱셈을 이용하면 가장 간단하게 정의할 수 있다. 예로 몫 35 / 7을 생각해 보자. 답은 무엇일까? 7을 곱해서 35가 되는 수를 찾으면 된다. 48 / 8이라면 8을 곱해서 48이 되는 수를 찾는다.
7 · 5 = 35이므로 35 / 7의 답은 5이다. 8 · 6 = 48이므로 48 / 8의 답은 6이다.
일반적으로 a / b를 계산하면 그 답은 b · c = a를 만족하는 수 c이다.
지금까지는 모든 예를 자연수로 보았지만, 곱셈을 이용한 정의 덕분에 다른 어떤 수도 나눌 수 있다. 예를 들어 몫 −85.76 / 6.7은 6.7 · x = −85.76을 만족하는 수 x를 찾으면 구할 수 있다. x = −12.8이 이 식을 만족한다.
0은 다른 수로 나눌 수 있다
0을 어떤 수로 나눌 수는 있다. 0 / 15는 올바른 식이다. 이것은 0을 15개의 같은 부분으로 나누겠다는 뜻이다. 케이크가 하나도 없는데, 없는 이 케이크를 15조각으로 나누려고 한다고 생각해 보자. 한 조각의 크기는 얼마일까? 케이크가 아예 없으므로 0이다. 또는 지갑에 0원이 있는데 이 0원을 아이 세 명에게 나누어 주려고 한다고 생각해 보자. 아이 한 명이 받는 돈은 얼마일까? 가진 것이 없으니 한 푼도 받지 못한다. 그래서 0 / 15 = 0이다.
0을 다른 수로 나눌 수는 있지만, 다른 수를 0으로 나눌 수는 없다. 8 / 0은 올바르지 않은 식이다.
왜 0으로 나눌 수 없을까?
0으로 나눌 수 없는 이유는 열한 번째 계명이 금지하기 때문이다.
물론 더 그럴듯한 이유도 있다. 우선 나누어지는 수가 0이 아닌 경우, 즉 a ≠ 0일 때 a / 0 꼴의 나눗셈을 생각해 보자. 이유를 두 가지 들어 보자.
- 덩어리를 같은 크기의 작은 조각으로 나누는 비유를 계속 써 보자. 가장 강력한 몬스터 카드가 15장 있다. 이 카드를 아이 0명에게 나누어 주려고 한다. 아이 한 명은 카드를 몇 장 받을까?
엥???
그렇다, 문제를 제대로 읽은 것이 맞고, 이 문제는 말이 안 된다. 카드를 받을 아이가 한 명도 없는데 아이 한 명이 몇 장을 받았는지 물을 수는 없다. 그래서 0으로 나누는 것도 의미가 없으며, 식 x / 0은 정의되지 않는다고 말한다.
- 나눗셈은 곱셈을 이용해 정의했다. 15 / 0을 계산하려고 하면 x · 0 = 15를 만족하는 수 x를 찾아야 한다. 그런데 어떤 수에 0을 곱해도 0이므로 이 방정식을 만족하는 x는 절대 찾을 수 없다.
그러면 몫 0/0은?
이것도 x / 0과 마찬가지로 정의되지 않는다. 그 이유는 다음과 같다.
이번에는 가장 강력한 몬스터 카드 0장을 아이 0명에게 나누어 주려고 한다. 이것 역시 말이 안 되는 요구이다.
나눗셈의 정의에 따르면 0 / 0을 계산할 때는 x · 0 = 0을 만족하는 수 x를 찾는다. 해는 찾을 수 있다. 더 정확히 말하면, 모든 실수가 이 방정식의 해이다. x에 4를 넣든 1이나 π를 넣든 방정식은 성립한다. 물론 나눗셈의 결과가 실수 전체의 집합이 되는 것은 허용되지 않고, 의미도 없다.
그렇다면 집합 전체에서 수 하나를 골라 그 수가 0 / 0의 결과라고 정해야 한다. 그런데 어떤 수를 골라야 할까? 1일까? 8일까? 0일까? −1일까? 그리고 왜 그 수여야 할까? 0과 1을 지지하는 논리를 하나씩 들어 보자.
- x / x 꼴의 분수는 1과 같다. 예를 들어 7 / 7 = 1이고 3 / 3 = 1이다. 여기서 0 / 0 = 1이 되도록 정의해야 한다고 생각할 수 있다.
- 분명히 올바른 분수들을 차례로 살펴보자. 각 분수에서는 0을 점점 더 0에 가까워지는 수로 나눈다.
0에 아무리 가까운 수로 나누어도 몫은 언제나 0이다. 여기서 0 / 0 = 0이라고 생각할 수도 있다.
두 논리 모두 0 / 0을 정의하는 그럴듯한 방법이다. 그런데 어느 쪽이 더 나을까? 결국 둘 중 하나를 골라 유일하게 올바른 것으로 정하더라도 수학의 다른 부분과 모순이 생긴다.
그래서 0으로 나누는 것은 정의하지 않은 채로 둔다.
0으로 나누면 안 되는 마지막 이유
앞의 이유로 부족하다면, 누군가 실제로 0으로 나누려고 했던 사건의 사진 기록을 보면 설득될 것이다.
