유리식

유리식은 분자와 분모에 다항식이 있는 분수 꼴의 식이다. 유리식은 보통 더 짧고 깔끔한 식으로 간단히 하는 것이 목표이다.

기본

다시 정리하면 유리식은 다음과 같은 꼴이다.

$$\frac{\text{다항식}}{\text{다항식}}$$

예를 들어 다음 식은 유리식이다.

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

이제 이 식을 간단히 해야 한다. 유리식을 간단히 할 때는 다항식을 계산할 때와 같은 방법, 예를 들어 공통인수로 묶기와 여러 가지 곱셈 공식을 이용한다. 다음 절에 자주 쓰는 변형을 정리했다.

여기서 다루는 유리식은 분모에 변수가 있는 식, 즉 분수식이다. 예를 들어 다음 식은 분모가 상수이므로 다항식이고, 분수식이라고 하지 않는다.

$$\frac{2x+3}{2}$$

유리식에서는 보통 식이 의미를 갖는 조건도 구한다. 분모는 0이 될 수 없기 때문이다. 알다시피 0으로는 나눌 수 없다.

계산 방법

식을 변형할 때는 여러 가지 방법을 쓰는데, 흔히 쓰는 것을 정리해 보자. 첫째는 약분이다. 분자와 분모가 곱으로만 이루어져 있으면 약분할 수 있다.

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

여기서는 변수 a로 약분했다. 그러나 분수가 다음과 같다면

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

약분할 수 없다. 분자가 합의 꼴이므로 약분은 허용되지 않는다. 분자나 분모가 합의 꼴이라도 공통인수로 묶어 내면 약분할 수 있는 경우가 많다. 예를 들어 다음 분수를 보자.

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

분자는 합의 꼴이지만, a를 묶어 낸 뒤 약분할 수 있다.

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

어떤 공식으로 인수분해하는 것도 자주 쓰는 변형이다. 앞에서 다음 유리식을 보았다.

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

분자에 다음 공식을 적용하면

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

새로운 유리식을 얻는다.

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

이제 괄호 (x + 1) 전체로 약분할 수 있다.

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

그 밖에도 다항식의 덧셈과 곱셈, 거듭제곱의 계산, 분수의 덧셈 등을 쓴다.

첫 번째 예제

문제는 다음과 같다.

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

분자와 분모에서 모두 2를 묶어 낼 수 있고, 그다음 2로 약분할 수 있다.

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

분자에서 3을 더 묶어 낼 수 있다.

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

식 a + 2b 전체로 약분하면 3만 남는다.

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

이 유리식의 조건은 다음과 같다.

$$a+2b\ne 0$$

두 번째 예제

문제는 다음과 같다.

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

먼저 안쪽 괄호에서 분수를 뺀다.

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

다음으로 분모의 괄호를 전개한다. 눈치 빠른 학생은 공식 a² − b²을 적용할 수 있다는 것을 알아챘을 것이다.

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

첫 번째 분수의 분모와 두 번째 분수의 분자가 같은 식이고 두 분수를 곱하고 있으므로 이 식으로 약분할 수 있다.

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

이제 조금 수고를 들여 분자의 괄호를 전개하고 정리한 뒤, 마지막으로 약분한다.

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

조건은 문제에서 구한다. 분수가 모두 세 개 있고, 그 분모는 어느 것도 0이 되면 안 된다.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

세 번째 예제

다음 유리식을 간단히 해 보자.

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

이번에도 먼저 괄호 안의 식을 차근차근 더하고 뺀다. 첫 번째 뺄셈은 두 분수의 분모가 같으므로 간단하다.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

분자의 괄호를 전개하고 정리한다.

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

첫 번째 분수를 b로 약분하고, 2의 분자와 분모에 a를 곱해 첫 번째 분수와 더할 수 있게 한다.

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

첫 번째 괄호의 분수를 더하고, 두 번째 분수의 분자에서 a를 묶어 낸다.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

이제 a로 약분할 수 있다.

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

왼쪽 식을 분수에 곱한다.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

첫 번째 괄호에서 2를 묶어 낸다.

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

이제 (1 + a)로 약분할 수 있다(분모에 순서만 바뀐 같은 식 a + 1이 있다).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

이것이 최종적으로 간단히 한 유리식이고, 더 이상 의미 있게 변형할 수 없다. 조건은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

다항식의 나눗셈

유리식은 다항식을 다항식으로 나누는 알고리즘으로 풀 수도 있다. 흔히 쓰는 변형 방법을 적용할 수 없을 때 유용하다.