Povrch kužele

Povrch kužele nám, jednoduše řečeno, říká, kolik papíru nebo plechu spotřebujeme, když chceme celý kužel vyrobit nebo polepit. S objemem kužele ho nezaměňujte, ten udává, kolik vody se do kužele vejde. Kužel má dvě části: dole kruhovou podstavu a nad ní plášť, který se sbíhá do vrcholu.

Poloměr podstavy r je na obrázku červený, výška v modrá a strana kužele s zelená — ta měří vzdálenost od vrcholu k okraji podstavy.

Vzorec pro povrch kužele

Chcete-li jen vzorec, povrch kužele S, jehož podstava má poloměr r a jehož strana měří s, vypočítáte jako

$$S=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot s$$

První sčítanec je obsah podstavy, druhý obsah pláště. Někdy se vzorec píše i s vytknutým π · r:

$$S=\pi \cdot r\cdot (r+s)$$

Vezměme kužel s poloměrem podstavy r = 3 a stranou s = 5. Jeho povrch je

$$S=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Chcete-li výsledek zapsat obyčejným číslem místo s pí, dosaďte přibližnou hodnotu 3,14:

$$S\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Jak jsme na to přišli?

Podstava je obyčejný kruh, její obsah tedy známe ze vzorce pro obsah kruhu: π · r².

S pláštěm je to zajímavější. Rozstřihneme-li ho podél strany a rozložíme na stůl, dostaneme kruhovou výseč s poloměrem s. Obrázek ukazuje celou síť kužele: červená výseč je plášť, modrý kruh podstava. Síť se v obrázku složí do kužele a zase rozloží.

Oranžový oblouk výseče byl před rozstřižením okrajem podstavy, proto je stejně dlouhý jako oranžová kružnice dole, tedy obvod kružnice 2π r. Celá kružnice s poloměrem s by měřila 2π s. Výseč je z celého kruhu s poloměrem s přesně taková část, jakou je oblouk z celé kružnice:

$$\frac{2\pi r}{2\pi s}=\frac{r}{s}$$

U kužele z předchozího příkladu jsou to tři pětiny kruhu, stejně jako na obrázku. Celý kruh by měl obsah π · s², plášť si z něj bere podíl $\frac{r}{s}$:

$$S_{\text{pláště}}=\frac{r}{s}\cdot \pi \cdot s^2=\pi \cdot r\cdot s$$

Připočteme-li k plášti ještě podstavu, získáme celý vzorec S = π · r² + π · r · s.

Příklad: papírová čepice

Chystá se oslava a my k ní chceme vyrobit papírovou čepici ve tvaru kužele. Dole má mít poloměr 8 cm, výška má být 15 cm. Kolik papíru na ni spotřebujeme?

Vzorec ovšem chce stranu s, a ne výšku. Výška, poloměr a strana ale tvoří pravoúhlý trojúhelník, takže stranu dopočítáme podle Pythagorovy věty. Dosadíme r = 8 a v = 15:

$$s=\sqrt{r^2+v^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Umocníme:

$$s=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Zbývá odmocnit:

$$s=17$$

Tady na nás čeká past: čepice nemá dno. Kdo by sáhl po celém vzorci, vyrobil by čepici s podstavou, a ta se nosí dost špatně. Spočítáme tedy pouze plášť:

$$S_{\text{pláště}}=\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

Dosadíme přibližnou hodnotu pí:

$$S_{\text{pláště}}\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

Na čepici spotřebujeme přibližně 427 centimetrů čtverečních papíru, k tomu ještě kousek navíc na slepení.

Kalkulačka

Zadejte poloměr podstavy a stranu, jednotky si u každého pole můžete přepnout. Kalkulačka používá přesné pí, a vyjde jí proto o něco víc než 75,36.

Viz také

• Objem kužele
• Kruhová výseč
• Povrch válce
• Povrch jehlanu