Isi padu kon

Kon ialah pepejal yang rupanya seperti kon aiskrim atau kon trafik di jalan raya. Di bahagian bawah terdapat tapak berbentuk bulatan, dan di bahagian atas kon itu menirus ke satu titik, iaitu bucu. Secara mudah, isi padu kon menyatakan berapa banyak air yang boleh dituang ke dalam kon seperti itu.

Warna merah menunjukkan jejari tapak r, manakala warna biru menunjukkan tinggi kon t, iaitu jarak bucu dari tapak. Tinggi berserenjang dengan tapak. Bagi kon biasa yang tidak condong, tinggi berakhir tepat di pusat tapak, dan kon seperti ini dipanggil kon tegak.

Rumus isi padu kon

Jika anda hanya mencari rumus, isi padu V bagi kon yang tapaknya berjejari r dan tingginya t ialah

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot t$$

Sebagai contoh, kon dengan jejari tapak r = 3 dan tinggi t = 10 mempunyai isi padu

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 90=30\pi$$

Jika anda tidak suka jawapan yang mengandungi pemalar pi, anda boleh menggantikannya dengan nilai hampiran 3.14:

$$V\approx 30\cdot 3.14=94.2$$

Bagaimanakah rumus ini diperoleh?

Rumus ini hampir sama dengan rumus isi padu silinder, cuma terdapat satu pertiga tambahan. Isi padu silinder yang tapaknya berjejari r dan tingginya t ialah

$$V_{\text{silinder}}=\pi \cdot r^2\cdot t$$

Sekarang bayangkan sebuah silinder dan sebuah kon yang mempunyai tapak yang sama dan tinggi yang sama. Kon itu muat dengan tepat di dalam silinder, dan bucunya menyentuh pusat tapak atas silinder:

Sekali pandang, kita dapat melihat bahawa kon lebih kecil kerana masih banyak ruang kosong di dalam silinder di sekelilingnya. Tetapi sebanyak manakah kon itu lebih kecil? Kita boleh mencubanya. Isikan kon dengan air dan tuangkan air itu ke dalam silinder. Silinder hanya terisi satu pertiga. Isikan kon sekali lagi, dan silinder terisi dua pertiga. Hanya kon air yang ketiga memenuhi silinder hingga ke bibirnya:

Jadi, silinder memuatkan tepat tiga kon air, dan oleh itu isi padu kon ialah satu pertiga daripada isi padu silinder:

$$V=\frac{1}{3}\cdot V_{\text{silinder}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot t$$

Sudah tentu menuang air hanyalah satu eksperimen, bukan bukti. Daripada baldi, anda tidak dapat memastikan sama ada nilainya tepat satu pertiga atau, misalnya, 0.31. Bahawa nilainya benar-benar tepat satu pertiga dapat dibuktikan menggunakan kamiran tentu, tetapi topik itu hanya dipelajari di universiti.

Di samping itu, satu pertiga yang sama juga berlaku bagi piramid: isi padu piramid ialah satu pertiga daripada isi padu prisma yang mempunyai tapak yang sama dan tinggi yang sama.

Contoh: longgokan pasir

Di tapak pembinaan terdapat longgokan pasir berbentuk kon. Tingginya 1.5 meter dan lebarnya di aras tanah 4 meter. Berapa meter padukah pasir dalam longgokan itu?

Awas, ada perangkap dalam soalan: 4 meter ialah lebar longgokan, iaitu diameter tapak, bukan jejarinya. Jejari ialah separuh daripada diameter, jadi r = 2 meter. Tingginya t = 1.5 meter. Kita gantikan ke dalam rumus:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot 1.5$$

Kita kuasaduakan 2:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 4\cdot 1.5$$

Satu pertiga darab 1.5 ialah 0.5, jadi pengiraan boleh dipermudahkan:

$$V=\pi \cdot 4\cdot 0.5=2\pi$$

Akhir sekali, kita gantikan nilai hampiran pi:

$$V\approx 2\cdot 3.14=6.28$$

Longgokan itu mengandungi lebih kurang 6.28 meter padu pasir. Sesiapa yang mahu mengangkutnya dengan kereta sorong yang memuatkan lebih kurang 80 liter perlu membuat lebih kurang lapan puluh perjalanan, kerana satu meter padu ialah seribu liter, jadi 6280:80 ≈ 79.

Apabila tinggi tidak diketahui

Kadangkala tinggi kon tidak diketahui, tetapi kita tahu tinggi sendengnya s, iaitu jarak dari bucu ke tepi tapak. Tinggi, jejari dan tinggi sendeng bersama-sama membentuk sebuah segi tiga bersudut tegak, yang diwarnakan hijau dalam rajah:

Tinggi sendeng s ialah hipotenus segi tiga ini, manakala tinggi t dan jejari r ialah dua sisi yang mengapit sudut tegak. Oleh itu, mengikut teorem Pythagoras,

$$s^2=r^2+t^2.$$

Daripada persamaan ini, kita ungkapkan tinggi:

$$t=\sqrt{s^2-r^2}$$

Contoh: Sebuah kon aiskrim mempunyai diameter 5 cm di bahagian atas, dan sisinya berukuran 6.5 cm. Berapa banyak aiskrim yang muat di dalamnya?

Diameternya 5 cm, jadi jejarinya r = 2.5 cm. Tinggi sendeng kon itu ialah s = 6.5 cm. Mula-mula, kita kira tinggi:

$$t=\sqrt{s^2-r^2}=\sqrt{{6.5}^2-{2.5}^2}$$

Kita kuasaduakan:

$$t=\sqrt{42.25-6.25}=\sqrt{36}$$

Kemudian kita cari punca kuasa dua:

$$t=6$$

Tinggi kon aiskrim itu ialah 6 cm. Sekarang kita gantikan ke dalam rumus isi padu kon:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {2.5}^2\cdot 6=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 37.5=12.5\pi \approx 39.25$$

Kon itu memuatkan lebih kurang 39 sentimeter padu aiskrim, iaitu kurang sedikit daripada 40 ml. Satu skop aiskrim yang menonjol di atas kon itu tentu sahaja tidak termasuk. Isi padunya dikira sebagai separuh daripada isi padu sfera.

Kalkulator

Masukkan jejari tapak dan tinggi. Anda boleh menukar unit bagi setiap medan. Kalkulator menggunakan nilai pi yang tepat, jadi jawapannya sedikit lebih besar daripada 94.2.

Lihat juga

• Isi padu silinder
• Isi padu sfera
• Luas permukaan kon
• Luas permukaan piramid