Luas permukaan piramid

Piramid ialah pepejal tiga dimensi yang bentuknya seperti piramid Mesir. Piramid mempunyai tapak tempat piramid itu berdiri dan beberapa muka berbentuk segi tiga. Tapaknya ialah sebuah poligon. Mari kita lihat contoh rupa piramid:

Piramid tegak bertapak segi empat sama

Ini ialah piramid tegak bertapak segi empat sama. Tapaknya ialah poligon sekata yang mempunyai empat sisi, iaitu sisi empat yang dalam kes ini berbentuk segi empat sama (kecilkan mata sedikit untuk melihat segi empat sama itu 😆). Oleh itu, piramid ini mempunyai empat muka segi tiga. Luas permukaan piramid dikira dengan mengira luas tapak dan luas muka-mukanya. Kita mulakan dengan luas tapak:

Oleh sebab tapaknya ialah sisi empat sekata, atau dengan kata lain segi empat sama, kita menggunakan rumus luas segi empat sama:

$$L_{◻}=a^2$$

Itu mudah sahaja. Sekarang tiba bahagian yang lebih sukar, iaitu luas muka segi tiga. Mari kita kira luas muka ABF:

Muka ABF ialah sebuah segi tiga, dan bukan sebarang segi tiga, tetapi segi tiga sama kaki:

Untuk mengira luas segi tiga sama kaki, kita perlu mengetahui tinggi segi tiga. Apabila tinggi t segi tiga sama kaki itu diketahui, luasnya ialah

$$L_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot t}{2}$$

Inilah luas satu muka piramid bertapak segi empat sama kita. Luas keempat-empat muka ialah

$$L_{4\mathrm{△}}=4\cdot \frac{a\cdot t}{2}=2\cdot a\cdot t$$

Sekarang kita boleh mengira luas permukaan seluruh piramid dengan menambah luas tapak dan luas muka-muka segi tiga:

$$L=L_{◻}+L_{4\mathrm{△}}=a^2+2\cdot a\cdot t$$

Luas permukaan piramid bertapak poligon sekata n sisi

Sudah tentu piramid tidak semestinya bertapak segi empat. Tapaknya boleh juga berbentuk heksagon:

Bagaimanakah kita mengira luas permukaan piramid seperti ini? Luas satu muka masih dikira dengan cara yang sama:

$$L_{\mathrm{△}}=\frac{a\cdot t}{2}$$

Tetapi kali ini piramid mempunyai enam muka, bukan empat, jadi kita darabkan luas ini dengan enam. Bagi piramid yang tapaknya poligon n sisi, kita darabkan dengan n:

$$L_{n\mathrm{△}}=n\cdot \frac{a\cdot t}{2}$$

Luas tapak pula dikira dengan rumus luas poligon sekata n sisi:

$$L_{n\diamond }=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

dengan a ialah panjang tepi dan r ialah jarak dari pusat poligon ke sisinya. Rumus lengkapnya kelihatan seperti ini:

$$L=n\cdot \frac{a\cdot t}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

Rumus ini boleh diringkaskan menjadi

$$L=n\cdot \left(\frac{a\cdot t+a\cdot r}{2}\right)$$

dan seterusnya menjadi

$$L=n\cdot a\cdot \frac{t+r}{2}$$