Luas permukaan kon

Secara mudah, luas permukaan kon menyatakan berapa banyak kertas atau kepingan logam yang diperlukan untuk membuat atau membalut seluruh kon. Jangan keliru dengan isi padu kon, yang menyatakan berapa banyak air yang muat di dalam kon. Kon terdiri daripada dua bahagian: tapak berbentuk bulatan di bawah dan permukaan melengkung di atasnya yang menirus ke bucu.

Dalam rajah, jejari tapak r berwarna merah, tinggi t berwarna biru dan tinggi sendeng s berwarna hijau. Tinggi sendeng ialah jarak dari bucu ke tepi tapak.

Rumus luas permukaan kon

Jika anda hanya mencari rumus, luas permukaan L bagi kon yang tapaknya berjejari r dan tinggi sendengnya s ialah

$$L=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot s$$

Sebutan pertama ialah luas tapak, dan sebutan kedua ialah luas permukaan melengkung. Kadangkala rumus ini ditulis dengan π · r sebagai faktor sepunya:

$$L=\pi \cdot r\cdot (r+s)$$

Ambil kon dengan jejari tapak r = 3 dan tinggi sendeng s = 5. Luas permukaannya ialah

$$L=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Jika anda mahu menulis jawapan sebagai nombor biasa tanpa pi, gantikan nilai hampiran 3.14:

$$L\approx 24\cdot 3.14=75.36$$

Bagaimanakah rumus ini diperoleh?

Tapak ialah bulatan biasa, jadi luasnya diperoleh daripada rumus luas bulatan: π · r².

Permukaan melengkung lebih menarik. Jika kita memotongnya di sepanjang tinggi sendeng dan membentangkannya di atas meja, kita memperoleh sektor bulatan dengan jejari s. Rajah menunjukkan seluruh bentangan kon: sektor merah ialah permukaan melengkung, dan bulatan biru ialah tapak. Dalam rajah, bentangan itu dilipat menjadi kon dan dibuka semula.

Lengkok jingga sektor itu, sebelum dipotong, ialah tepi tapak. Oleh itu, panjangnya sama dengan bulatan jingga di bawah, iaitu lilitan bulatan 2π r. Seluruh bulatan berjejari s akan berukuran 2π s. Sektor itu ialah bahagian bulatan berjejari s yang sama besar dengan bahagian lengkok daripada seluruh lilitan:

$$\frac{2\pi r}{2\pi s}=\frac{r}{s}$$

Bagi kon dalam contoh sebelum ini, bahagian itu ialah tiga perlima bulatan, sama seperti dalam rajah. Seluruh bulatan akan mempunyai luas π · s², dan permukaan melengkung mengambil bahagian $\frac{r}{s}$ daripadanya:

$$L_{\text{melengkung}}=\frac{r}{s}\cdot \pi \cdot s^2=\pi \cdot r\cdot s$$

Jika kita menambah luas tapak kepada luas permukaan melengkung, kita memperoleh rumus lengkap L = π · r² + π · r · s.

Contoh: topi kertas

Kita mahu membuat topi kertas berbentuk kon untuk satu majlis. Jejari bahagian bawahnya 8 cm dan tingginya 15 cm. Berapa banyak kertas yang diperlukan?

Namun, rumus memerlukan tinggi sendeng s, bukan tinggi. Tinggi, jejari dan tinggi sendeng membentuk sebuah segi tiga bersudut tegak, jadi kita kira tinggi sendeng menggunakan teorem Pythagoras. Kita gantikan r = 8 dan t = 15:

$$s=\sqrt{r^2+t^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Kita kuasaduakan:

$$s=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Akhir sekali, kita cari punca kuasa dua:

$$s=17$$

Awas, perangkap: topi itu tidak mempunyai tapak. Sesiapa yang menggunakan rumus lengkap akan membuat topi bertapak, dan topi seperti itu sukar dipakai. Jadi, kita hanya mengira permukaan melengkung:

$$L_{\text{melengkung}}=\pi \cdot r\cdot s=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

Kita gantikan nilai hampiran pi:

$$L_{\text{melengkung}}\approx 136\cdot 3.14=427.04$$

Topi itu memerlukan lebih kurang 427 sentimeter persegi kertas, ditambah sedikit lagi untuk bahagian yang dilekatkan.

Kalkulator

Masukkan jejari tapak dan tinggi sendeng. Anda boleh menukar unit bagi setiap medan. Kalkulator menggunakan nilai pi yang tepat, jadi jawapannya sedikit lebih besar daripada 75.36.

Lihat juga

• Isi padu kon
• Sektor bulatan
• Luas permukaan silinder
• Luas permukaan piramid