Isi padu piramid

Piramid ialah pepejal yang anda kenali daripada piramid Mesir. Di bahagian bawah terdapat tapak, biasanya berbentuk segi empat sama. Dari tepi-tepi tapak naik muka-muka segi tiga yang bertemu pada satu titik di bahagian atas, iaitu bucu. Isi padu piramid menyatakan berapa banyak pasir yang boleh dimuatkan ke dalam piramid seperti itu sekiranya piramid itu berongga.

Piramid dengan tapak L_p dan tinggi t

Kawasan berwarna merah ialah tapak, dan luasnya akan kita tandakan dengan L_p. Warna biru menunjukkan tinggi piramid t, iaitu jarak bucu dari tapak. Tinggi berserenjang dengan tapak, jadi tinggi tidak diukur di sepanjang muka yang condong, tetapi tegak ke bawah dari bucu.

Rumus isi padu piramid

Jika anda hanya mencari rumus, isi padu V bagi piramid yang luas tapaknya L_p dan tingginya t ialah

$V = \frac{1}{3} \cdot L_{p} \cdot t$

Piramid yang paling biasa ialah piramid tegak bertapak segi empat sama, iaitu piramid dengan tapak segi empat sama bersisi a. Luas tapaknya ialah luas segi empat sama L_p = a², dan rumusnya menjadi:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot t$

Sebagai contoh, piramid dengan sisi tapak a = 6 dan tinggi t = 5 mempunyai isi padu

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 180 = 60$

Mengapakah terdapat satu pertiga?

Tanpa satu pertiga itu, rumus L_p · t akan memberikan isi padu prisma dengan tapak yang sama dan tinggi yang sama. Jadi, piramid ialah satu pertiga daripada prisma. Sebab tepatnya satu pertiga dapat ditunjukkan dengan cantik menggunakan kubus.

Ambil kubus dengan tepi a dan pilih satu bucunya, iaitu bucu yang berwarna jingga dalam rajah. Dari bucu ini, kita bina piramid ke tiga muka kubus yang tidak menyentuh bucu jingga itu: muka bawah, muka belakang dan muka kanan. Terbentuklah tiga piramid, iaitu merah, biru dan hijau. Bersama-sama, ketiga-tiganya memenuhi seluruh kubus tanpa meninggalkan ruang kosong dan tanpa bertindih:

Kubus yang dibahagikan kepada tiga piramid kongruen dengan bucu sepunya

Ketiga-tiga piramid itu sama, cuma kedudukannya berbeza. Setiap satu mempunyai tapak berupa satu muka kubus, iaitu segi empat sama dengan luas a², dan setiap satu mempunyai tinggi a kerana bucunya berada pada jarak satu tepi kubus dari muka yang bertentangan. Isi padu kubus ialah a³ dan dibahagikan sama rata kepada tiga piramid, jadi isi padu setiap piramid ialah

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{3} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot L_{p} \cdot t$

Inilah rumus kita.

Sudah tentu kubus hanyalah satu kes khusus, tetapi satu pertiga itu kekal dalam kes lain juga. Jika kubus diregangkan ke atas atau ke sisi, kubus itu menjadi kuboid, dan ketiga-tiga piramid turut diregangkan dengan cara yang sama. Setiap piramid tetap satu pertiga daripada kuboid. Isi padu piramid juga tidak berubah apabila piramid itu dicondongkan. Bayangkan piramid itu tersusun daripada kepingan nipis, seperti cerobong daripada segi empat sama yang semakin kecil. Jika kepingan itu dianjak ke sisi, kita memperoleh piramid condong, tetapi kepingannya tetap sama dan memenuhi ruang yang sama besar. Helah ini dikenali sebagai prinsip Cavalieri. Prinsip ini juga berlaku bagi piramid dengan tapak yang berlainan bentuk: jika dua piramid mempunyai luas tapak yang sama dan tinggi yang sama, kepingannya pada setiap aras mempunyai luas yang sama, sama ada tapaknya segi empat sama atau segi tiga, dan oleh itu isi padunya juga sama. Jadi, rumus

$V = \frac{1}{3} \cdot L_{p} \cdot t$

berlaku bagi semua piramid, sama ada tegak atau condong, dengan tapak segi empat sama, segi empat tepat atau segi tiga. Cuma berhati-hati dengan piramid condong: tingginya tetap jarak tegak bucu dari tapak, bukan panjang tepi yang condong.

Satu pertiga yang sama juga muncul dalam isi padu kon: kon ialah satu pertiga daripada silinder dengan tapak dan tinggi yang sama. Kon boleh dianggap sebagai piramid yang tapaknya bulatan, bukan segi empat sama.

Contoh: Piramid Khufu

Piramid Mesir yang terbesar, iaitu Piramid Khufu di Giza (Piramid Agung Giza), asalnya mempunyai tapak segi empat sama dengan sisi lebih kurang 230 meter dan tinggi lebih kurang 146 meter. Kini piramid itu lebih kurang lapan meter lebih rendah kerana puncak dan lapisan luarnya telah hilang. Berapa banyak batu yang terdapat di dalamnya?

Mula-mula, tapaknya, iaitu segi empat sama dengan sisi 230 meter:

$L_{p} = 230^{2} = 52 900$

Luas tapak ialah 52 900 meter persegi, lebih kurang tujuh padang bola sepak. Daripada nilai ini, kita kira isi padu:

$V = \frac{1}{3} \cdot 52 900 \cdot 146$

Kita darabkan:

$V = \frac{1}{3} \cdot 7 723 400$

Akhir sekali, kita bahagikan dengan tiga:

$V \approx 2 574 467$

Isi padu Piramid Khufu ialah lebih kurang 2.6 juta meter padu. Jika piramid itu dirobohkan dan batunya digunakan untuk mengisi kolam renang Olimpik, setiap satu sepanjang 50 meter, selebar 25 meter dan sedalam 2 meter, iaitu dengan isi padu 2 500 meter padu, kita akan mengisi lebih daripada seribu kolam.

Satu pertiga yang terlupa di sini memang mahal akibatnya. Sesiapa yang tertinggal satu pertiga itu akan mendapat lebih daripada 7.7 juta meter padu dan “membina” dua piramid tambahan dalam angan-angan.

Apabila tinggi tidak diketahui

Sering kali tinggi piramid tidak diketahui, tetapi kita tahu panjang tepi sisi s, iaitu tepi yang bermula dari bucu tapak hingga ke puncak piramid. Hal ini biasa berlaku pada bangunan sebenar: tepi lebih mudah diukur dengan pita pengukur berbanding tinggi tegak di dalam piramid.

Tinggi t, tepi sisi s dan separuh pepenjuru tapak (merah) membentuk sebuah segi tiga bersudut tegak, yang diwarnakan hijau dalam rajah:

Tinggi t, separuh pepenjuru dan tepi sisi s membentuk segi tiga bersudut tegak

Tinggi jatuh dari puncak ke pusat segi empat sama, dan jarak dari pusat ke bucu tapak ialah separuh daripada pepenjuru segi empat sama. Pepenjuru segi empat sama dengan sisi a ialah $u = a \cdot \sqrt{2}$ . Tepi sisi s ialah hipotenus segi tiga itu, jadi mengikut teorem Pythagoras,

$s^{2} = t^{2} + {(\frac{u}{2})}^{2} .$

Daripada persamaan ini, kita ungkapkan tinggi:

$t = \sqrt{s^{2} - {(\frac{u}{2})}^{2}}$

Contoh: Di hadapan Muzium Louvre di Paris terdapat sebuah piramid kaca dengan tapak segi empat sama bersisi 35.4 meter dan tepi sisi lebih kurang 33.1 meter. Berapa banyak udara di dalamnya?

Kita mulakan dengan pepenjuru tapak:

$u = a \cdot \sqrt{2} = 35.4 \cdot \sqrt{2} \approx 50.06$

Jadi, separuh pepenjuru ialah lebih kurang 25.03 meter. Dalam rumus tinggi, kita peroleh:

$t = \sqrt{{33.1}^{2} - {25.03}^{2}}$

Kita kuasaduakan:

$t = \sqrt{1095.61 - 626.50} = \sqrt{469.11}$

Kemudian kita cari punca kuasa dua:

$t \approx 21.66$

Tinggi piramid itu lebih kurang 21.66 meter. Jawapan ini munasabah kerana tinggi rasminya ialah 21.64 meter. Dengan tinggi ini, kita kira isi padunya:

$V = \frac{1}{3} \cdot {35.4}^{2} \cdot 21.66 = \frac{1}{3} \cdot 1253.16 \cdot 21.66 \approx 9048$

Di dalam piramid itu terdapat lebih kurang 9 000 meter padu udara. Hampir tiga ratus piramid seperti ini boleh dimuatkan ke dalam Piramid Khufu.

Piramid dengan tapak lain

Tapak piramid tidak semestinya segi empat sama. Rumus $V = \frac{1}{3} \cdot L_{p} \cdot t$ berlaku bagi sebarang tapak, cuma luas tapaknya L_p dikira dengan cara yang berbeza setiap kali.

Cuba potong satu bucu sebuah bongkah kayu berbentuk kuboid dengan gergaji, menggunakan potongan condong yang melalui tiga bucu yang bersebelahan dengannya. Kepingan yang terpotong ialah piramid bertapak segi tiga: tapaknya ialah segi tiga bersudut tegak, dan tingginya ialah tepi tegak kuboid yang berserenjang dengan tapak.

Piramid bertapak segi tiga bersudut tegak dengan sisi a, b yang mengapit sudut tegak dan tinggi t

Katakan dua sisi yang mengapit sudut tegak pada tapak berukuran a = 8 cm dan b = 6 cm, dan tingginya t = 9 cm. Mula-mula, kita cari luas segi tiga pada tapak. Bagi segi tiga bersudut tegak, kita hanya perlu mendarabkan dua sisi yang mengapit sudut tegak dan membahagikan hasilnya dengan dua:

$L_{p} = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

Setelah luas tapak diketahui, isi padunya ialah:

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Kita telah memotong 72 sentimeter padu kayu daripada kuboid itu.

Untuk memastikan jawapan ini betul, kita semak semula. Piramid ini juga boleh diletakkan pada muka yang lain: muka kiri juga ialah segi tiga bersudut tegak, kali ini dengan sisi b = 6 cm dan t = 9 cm yang mengapit sudut tegak. Tepi a yang panjangnya 8 cm berserenjang dengan muka ini dan kini menjadi tinggi. Luas tapak ialah $\frac{6 \cdot 9}{2} = 27$ dan isi padunya

$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Jawapannya betul. Piramid itu tetap sama, cuma kedudukannya berbeza, jadi isi padunya mesti sama.

Kalkulator

Anda juga boleh mengira isi padu piramid tegak bertapak segi empat sama di sini. Masukkan sisi tapak dan tinggi. Anda boleh menukar unit bagi setiap medan.

Lihat juga

Kandungan: Isi padu sfera, Isi padu silinder, Isi padu kon, Isi padu kubus, Isi padu kuboid, Isi padu prisma, Isi padu piramid

« Artikel sebelumnya: Isi padu prisma

Artikel seterusnya: Keratan kon »