Lakaran graf fungsi: fungsi menokok dan menyusut

Apabila mengkaji kelakuan fungsi, antara lain kita menentukan selang tempat fungsi itu menokok atau menyusut. Untuk tujuan ini, terbitan fungsi sangat berguna.

Cara menentukan fungsi menokok atau menyusut

Kecerunan tangen pada suatu titik, iaitu terbitan fungsi pada titik itu, memberitahu kita lebih banyak tentang fungsi daripada yang disangka. Mula-mula, perhatikan rajah berikut:

Apakah yang dapat kita perhatikan? Jika fungsi menyusut pada suatu titik, tangen pada titik itu juga menyusut (lebih tepat lagi, fungsi yang mewakili tangen itu menyusut). Hal ini dapat dilihat pada tangen b. Fungsi x² + 1 menyusut pada titik B, dan tangen b juga menyusut. Sebaliknya, tangen a menokok, dan kita lihat bahawa fungsi x² + 1 juga menokok pada titik A. Tangen ketiga, c, selari dengan paksi-x, dan kita lihat bahawa di tempat itu terdapat ekstremum, iaitu minimum.

Perkara-perkara ini dapat dilihat pada pandangan pertama, tetapi perlu dijelaskan dengan lebih tepat. Kita mulakan dengan fungsi menokok dan menyusut. Jika tangen kepada graf fungsi pada suatu titik menokok, fungsi itu juga menokok pada titik tersebut. Bilakah tangen menokok? Tangen menokok jika sudut yang dibentuknya dengan separuh paksi-x yang positif terletak dalam selang (0, 90) darjah. Tangen menyusut jika sudut yang dibentuknya dengan separuh paksi-x yang positif terletak dalam selang (90, 180) darjah. Perhatikan rajah berikut:

Sudut α jelas kurang daripada 90 darjah, dan tangen itu menokok. Sudut β lebih besar daripada 90 darjah, dan tangen itu menyusut. Perkara ini sepatutnya jelas. Sekarang kita kembali kepada fungsi tangen. Kita perlu mengulang kaji cara menghitung nilai tangen sesuatu sudut. Untuk itu, kita memerlukan bulatan unit. Kita lukis sudut yang dikehendaki pada bulatan unit, dan bulatan unit memberikan nilai fungsi trigonometri mengikut petua tertentu. Nilai tangen ialah koordinat-y bagi titik persilangan lengan sudut dengan garis yang serenjang dengan paksi-x dan melalui titik (1, 0). Berikut rajahnya:

Dalam rajah ini, terdapat bulatan unit berwarna biru dan dua garis lurus, iaitu garis merah a dan garis hijau b. Garis-garis ini membentuk sudut α dan β dengan separuh paksi-x yang positif. Daripada rajah, kita mudah membaca tangen sudut-sudut ini: kita lukis garis p yang serenjang dengan paksi-x pada titik (1, 0). Inilah garis kelabu itu. Tangen sudut α sama dengan koordinat-y bagi titik persilangan garis merah a dengan garis kelabu p. Dengan kata lain, tangen sudut α sama dengan panjang tembereng garis |BP|.

Perkara yang sama berlaku bagi garis b dan sudut β. Tangen sudut β sama dengan koordinat-y bagi titik persilangan garis b dengan garis p, iaitu negatif panjang tembereng garis CP.

Seperti yang anda lihat, tan(α) positif, manakala tan(β) negatif. Inilah yang kita cari. Seperti yang dapat dilihat dalam rajah, jika sudut terletak dalam selang (0, 90), seperti sudut α, tangen sudut itu positif. Jika sudut terletak dalam selang (90, 180), seperti sudut β, tangennya negatif.

Bagaimanakah kita dapat menentukan dengan mudah sudut yang dibentuk oleh tangen pada suatu titik dengan separuh paksi-x yang positif? Menggunakan terbitan. Terbitan fungsi memberikan kecerunan tangen pada titik itu, dan kecerunan garis tangen ialah nilai tangen bagi sudut yang dibentuk oleh garis tangen itu dengan separuh paksi-x yang positif. Dengan kata lain, jika terbitan pertama fungsi pada suatu titik positif, fungsi itu menokok. Jika terbitan pertama negatif, fungsi itu menyusut.

Jika f′(x) > 0, fungsi f menokok pada titik x. Jika f′(x) < 0, fungsi f menyusut pada titik x.

Contoh: kita gunakan sekali lagi fungsi f(x) = x². Kita tahu bahawa terbitan fungsi ini ialah fungsi f′(x) = 2x. Bagi semua titik yang memenuhi 2x < 0, fungsi menyusut, dan bagi semua titik yang memenuhi 2x > 0, fungsi menokok. Ketaksamaan ini mudah, jadi kita memperoleh selang (−∞, 0) bagi fungsi menyusut dan (0, ∞) bagi fungsi menokok.