Lakaran graf fungsi: nilai ekstremum

Nilai ekstremum fungsi berlaku pada titik-titik tempat fungsi mencapai nilai maksimum atau minimumnya.

Nilai ekstremum fungsi

Terdapat dua jenis asas ekstremum, iaitu minimum dan maksimum. Selain itu, terdapat maksimum/minimum global dan maksimum/minimum setempat. Maksimum global ialah titik tempat fungsi mempunyai nilai terbesar antara semua titik dalam domain. Jika nilai ini dicapai pada satu titik sahaja, kita katakan maksimum itu ialah maksimum tegas. Hal ini kerana fungsi boleh mencapai nilai tertinggi pada lebih daripada satu titik, sama seperti dua pekerja yang berbeza boleh menerima gaji tertinggi sebanyak RM50 000 sebulan. Takrif minimum dan maksimum terdapat dalam rencana tentang fungsi.

Minimum setempat pula ditakrifkan hanya pada sebahagian domain fungsi, biasanya pada suatu selang. Takrif maksimum setempat dan minimum setempat:

• Fungsi f mempunyai maksimum setempat pada titik M ∈ D_f jika wujud suatu kejiranan U = (M − ϵ, M + ϵ), dengan ϵ > 0, dengan keadaan f(x) ≤ f(M) bagi semua x ∈ U ∩ D_f.
• Fungsi f mempunyai minimum setempat pada titik m ∈ D_f jika wujud suatu kejiranan U = (m − ϵ, m + ϵ), dengan ϵ > 0, dengan keadaan f(x) ≥ f(m) bagi semua x ∈ U ∩ D_f.

Contoh fungsi yang mempunyai tak terhingga banyaknya ekstremum ialah fungsi f(x) = x · sin x:

Mengapakah takrif itu menyebut “bagi semua x ∈ U ∩ D_f”, iaitu mengapakah terdapat persilangan dengan domain? Antara lain, kerana fungsi yang diberi oleh graf ini…

…mempunyai minimum pada titik m = 1, tetapi fungsi itu tidak tertakrif dalam mana-mana kejiranan kiri titik m = 1. Jadi, dalam kejiranan kiri itu, f(x) ≥ f(m) tidak akan benar. Jika kita mengambil persilangan dengan domain, kita hanya memperoleh kejiranan kanan.

Prinsip asas mencari nilai ekstremum

Sekarang mari kita kembali kepada graf fungsi f(x) = x² + 1 dengan tiga tangen:

Kita tumpukan perhatian terutamanya pada tangen c. Kita lihat bahawa tangen ini menyentuh graf pada titik minimum fungsi x² + 1 dan mengufuk, iaitu selari dengan paksi-x. Jadi, tangen ini “membentuk” sudut 0 darjah dengan separuh paksi-x yang positif. Apakah yang akan berlaku jika kita menterbalikkan fungsi itu supaya fungsi mempunyai maksimum dan bukan minimum? Graf fungsi −x² + 1:

Perhatikan bahawa tangen c, yang melalui titik maksimum fungsi −x² + 1, juga selari dengan paksi-x. Daripada sini, kita memperoleh suatu petua: jika kita mencari minimum atau maksimum fungsi, kita mencari tangen yang selari dengan paksi-x, iaitu garis tangen yang sudutnya dengan paksi-x mempunyai nilai fungsi tangen sifar. Daripada rajah sebelumnya, kita dapat melihat bahawa tan(0°) = 0. Dalam konteks terbitan, kita mencari titik yang terbitannya sama dengan sifar: f′(x) = 0.

Mari kita hitung ekstremum bagi fungsi kegemaran kita f(x) = x² + 1 menggunakan terbitan. Terbitan fungsi f ialah f′(x) = 2x. Seterusnya, kita mencari bila terbitan pertama sama dengan sifar, iaitu kita selesaikan persamaan f′(x) = 0. Selepas penggantian, 2x = 0. Persamaan ini jelas benar bagi x = 0. Kita lihat bahawa hasil ini sepadan dengan hakikat bahawa fungsi f(x) = x² + 1 mempunyai minimum global pada titik x = 0.

Pengecualian kepada “petua”

Kita mungkin tergoda untuk mengatakan bahawa fungsi mempunyai ekstremum pada titik x jika dan hanya jika terbitan pada titik itu sama dengan sifar. Malangnya, hal ini tidak benar; keadaannya tidak semudah itu. Mari kita lihat contoh-contoh berikut:

• Kita cuba mencari ekstremum fungsi f(x) = x³. Terbitan pertama fungsi ini ialah f′(x) = 3x². Kita selesaikan persamaan f′(x) = 0, iaitu 3x² = 0. Persamaan ini jelas benar bagi x = 0. Tetapi adakah fungsi x³ mempunyai ekstremum pada titik x = 0? Mari kita lihat grafnya:

  

  Kita lihat bahawa tiada ekstremum fungsi pada titik x = 0, sama ada global atau setempat. Jadi, mengapakah terbitan pada titik ini sama dengan sifar? Kerana pada titik ini tangen t selari dengan paksi-x, seperti dalam rajah berikut:

  

• Bagaimana pula dengan fungsi f(x) = |x|, iaitu nilai mutlak bagi x? Daripada graf, kita dapat melihat bahawa fungsi ini mempunyai minimum global pada titik x = 0:

  

  Tetapi fungsi ini tidak mempunyai terbitan pada titik x = 0! Pada titik x = 0, fungsi ini tidak mempunyai tangen, kerana sukar untuk mengatakan bagaimana rupa tangen itu.

Jadi, perkara berikut benar:

• Jika fungsi f mempunyai ekstremum, iaitu minimum atau maksimum, pada titik x, dan jika terbitan wujud pada titik ini (!), maka terbitan ini sama dengan sifar. Fungsi boleh mempunyai ekstremum pada titik x walaupun tiada terbitan pada titik itu.

• Jika fungsi f mempunyai terbitan sifar pada titik x, mungkin terdapat ekstremum pada titik ini, tetapi tidak semestinya.

Cara mencari nilai ekstremum fungsi

Kita andaikan bahawa kita diberi fungsi f yang boleh dibezakan pada seluruh domainnya. Pada langkah pertama, kita bezakan fungsi f dan memperoleh fungsi f′. Kemudian kita samakan terbitan pertama dengan sifar, iaitu kita selesaikan persamaan f′(x) = 0. Penyelesaian persamaan ini ialah titik-titik yang menjadi “calon” ekstremum, iaitu titik pegun.

Seterusnya, kita perlu menentukan titik pegun manakah yang merupakan ekstremum. Hal ini boleh ditentukan, misalnya, daripada terbitan kedua fungsi f. Jika s ialah titik pegun, iaitu jika f′(s) = 0, maka jika f′′(s) > 0, terdapat minimum pada titik s, manakala jika f′′(s) < 0, terdapat maksimum pada titik s.

Jika terbitan kedua pada titik ini juga sifar, kita perlu meneruskan pembezaan. Hal ini akan dibincangkan kemudian. Sekarang, satu contoh. Katakan kita mempunyai fungsi f(x) = 3x² + 6x. Cari ekstremumnya.

Kita hitung terbitan pertama: f′(x) = 6x + 6. Kita samakan terbitan pertama dengan sifar:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

Jadi, pada titik x = −1 terdapat titik pegun, iaitu calon titik ekstremum. Kita hitung terbitan kedua. Terbitan kedua sama dengan fungsi f′′(x) = 0x + 6. Selepas menggantikan titik x = −1, kita peroleh f′′(−1) = 6. Hasilnya positif, jadi fungsi mempunyai minimum pada titik ini. Grafnya:

Bagaimana jika terbitan kedua juga sifar?

Mari kita cari ekstremum fungsi f(x) = x⁴. Grafnya:

Terbitan pertama fungsi ini ialah f′(x) = 4x³. Penyelesaian persamaan f′(x) = 0 sudah tentu satu-satunya titik pegun s = 0. Kita hitung terbitan kedua, iaitu f′′(x) = 12x². Kita gantikan titik pegun s ke dalam terbitan kedua ini, lalu memperoleh

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

Kita memperoleh sifar, dan berdasarkan perkara yang telah kita bincangkan setakat ini, kita tidak dapat menentukan sama ada terdapat ekstremum pada titik itu atau tidak. Tetapi kita dapat melihat bahawa memang terdapat ekstremum pada titik itu. Jika situasi ini berlaku, kita teruskan pembezaan. Kita cari terbitan ketiga dan gantikan titik pegun s. Jika hasilnya bukan sifar, titik s ialah titik lengkok balas (perkara ini akan dibincangkan kemudian). Jika hasilnya sifar, kita teruskan pembezaan. Bagi terbitan keempat, kita membuat keputusan seperti bagi terbitan kedua: kita gantikan titik pegun, dan nilai positif bermakna terdapat minimum, manakala nilai negatif bermakna terdapat maksimum.

Terbitan ketiga ialah f′′′(x) = 24x. Selepas penggantian, kita peroleh f′′′(0) = 0, jadi kita teruskan pembezaan. Terbitan keempat berbentuk f′′′′(x) = 24. Kita lihat bahawa terbitan keempat sentiasa positif. Daripada sini, sama seperti dengan terbitan kedua, kita dapat menyimpulkan bahawa fungsi mempunyai minimum pada titik s = 0. Memang begitulah keadaannya.

Ringkasan langkah mencari nilai ekstremum fungsi

1. Kita diberi fungsi f yang boleh dibezakan.

2. Kita bezakan fungsi f.

3. Kita selesaikan persamaan f′(x) = 0. Semua s yang merupakan penyelesaian persamaan ini dipanggil titik pegun, iaitu calon titik ekstremum.

4. Kita hitung terbitan kedua.

5. Kita hitung nilai terbitan kedua pada semua titik pegun s. Jika f′′(s) > 0, fungsi mempunyai minimum pada titik s; jika f′′(s) < 0, terdapat maksimum pada titik s. Jika f′′(s) = 0, kita teruskan pembezaan.

   Petua: jika anda tidak mahu menghafal sama ada terbitan kedua mesti positif atau negatif untuk maksimum atau minimum, simpulkan sahaja daripada fungsi x². Anda sepatutnya mengenali graf fungsi ini, dan terbitan pertama serta keduanya mudah: f′(x) = 2x dan f′′(x) = 2. Jadi, terbitan kedua sentiasa positif, dan fungsi x² mempunyai minimum pada titik x = 0.

6. Kita hitung terbitan ketiga. Jika f′′′(s) ≠ 0, titik s ialah titik lengkok balas. Jika tidak, kita teruskan pembezaan.

7. Kita hitung terbitan keempat. Jika f′′′′(s) ≠ 0, terdapat ekstremum pada titik itu. Jika tidak, kita teruskan pembezaan.

8. Dan begitulah seterusnya. Jika terbitan pertama yang bukan sifar ialah terbitan berperingkat ganjil, titik itu ialah titik lengkok balas. Jika terbitan pertama yang bukan sifar berperingkat genap, titik itu ialah ekstremum.