Lakaran graf fungsi: kecembungan dan kecekungan

Kecembungan dan kecekungan fungsi menerangkan arah lengkungan graf fungsi. Fungsi cembung (cekung ke atas) mempunyai graf berbentuk ∪ dan terbitan kedua yang positif, manakala fungsi cekung (cekung ke bawah) mempunyai graf berbentuk ∩ dan terbitan kedua yang negatif. Titik tempat fungsi berubah daripada cembung kepada cekung atau sebaliknya dipanggil titik lengkok balas.

Apakah fungsi cembung dan fungsi cekung

Daripada graf, biasanya jelas pada pandangan pertama sama ada fungsi itu cekung atau cembung. Graf fungsi cembung kelihatan seperti “lembah”, manakala graf fungsi cekung kelihatan seperti bukit. Ada juga yang mengatakan bahawa anda boleh menuang kopi ke dalam graf fungsi cembung. Berikut tiga contoh fungsi yang sudah kita kenali.

Cara menentukan sama ada fungsi cembung atau cekung

Sekarang kita perlu mencari cara menentukan sama ada fungsi itu cembung atau cekung pada suatu selang. Untuk itu, kita memerlukan satu lagi rajah:

Fungsi kuadratik ini cembung pada seluruh domainnya. Apakah yang anda perhatikan apabila melihat semua tangen yang saya lukis dalam rajah? Bagi setiap tangen, semua titik pada graf fungsi kuadratik terletak di atas tangen itu, kecuali satu titik yang disentuh oleh tangen. Kita boleh melukis rajah yang serupa bagi fungsi −x². Di situ keadaannya terbalik, dan semua titik terletak di bawah tangen:

Sebelum penerangan seterusnya, perhatikan rajah berikut:

Fungsi f(x) = x² yang ditunjukkan ini cembung. Kita sudah tahu bahawa bagi fungsi cembung, semua titik pada graf terletak di atas tangen. Syarat ini dipenuhi di sini: kita mempunyai tangen t, dan titik-titik pada graf terletak di atas tangen ini. Sekarang persoalannya ialah cara menunjukkan melalui pengiraan bahawa titik-titik itu terletak di atas tangen.

Diberi titik x₀. Pada titik (x₀, f(x₀)), kita lukis tangen kepada graf, iaitu garis lurus t. Dalam rajah, titik berkoordinat (x₀, f(x₀)) ditandakan dengan titik merah T. Seterusnya, kita pilih titik lain x pada paksi-x. Dalam rajah, titik ini berwarna hijau. Bagi x, titik (x, f(x)), iaitu titik hijau F dalam rajah, mesti terletak di atas tangen t. Oleh sebab fungsi x² cembung pada seluruh domainnya, walau apa pun unsur x ∈ D_f yang kita ambil, titik (x, f(x)) mesti terletak di atas tangen.

Bagaimanakah kita menulisnya dalam bentuk rumus? Dalam rajah terdapat tangen t. Bayangkan fungsi linear t(x) yang grafnya ialah tangen (garis lurus) t itu. Contohnya, nilai fungsi pada titik x₀, iaitu t(x₀), sama dengan t(x₀) = f(x₀), kerana kedua-dua fungsi bernilai sama pada titik ini (graf kedua-duanya mempunyai titik sepunya di situ).

Sekarang kita boleh mengungkapkannya dengan rumus. Bagaimanakah kita menulis bahawa graf satu fungsi terletak di atas graf fungsi yang lain? Mudah sahaja: f(x) > t(x). Jika kita melihat rajah: pada titik x, tangen terletak di bawah graf kerana f(x) > t(x).

Oleh sebab kita mengetahui fungsi f, kita juga mengetahui nilai f(x₀) dan f(x). Jadi, untuk menentukan sama ada f(x) > t(x), kita hanya perlu mengetahui panjang tembereng garis ungu AB. Bagaimanakah kita mencarinya? Kita tahu panjang tembereng garis TA, iaitu |x − x₀|. Malangnya, kita tidak tahu panjang tembereng garis TB. Namun, jika kita menghitung terbitan fungsi pada titik x₀, kita memperoleh kecerunan tangen, iaitu nilai tangen bagi sudut yang dibentuk oleh garis tangen itu dengan separuh paksi-x yang positif. Sudut ini sama saiz dengan sudut ATB kerana kedua-duanya ialah sudut sepadan.

Kini kita tahu panjang tembereng garis TA dan saiz sudut ATB. Ingat bahawa fungsi tangen memberikan nisbah sisi bertentangan kepada sisi bersebelahan, jadi:

$$\tan (\sphericalangle ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

Kita tahu $\tan (\sphericalangle ATB)$ dan |TA|, dan kita mahu menghitung |AB|. Jadi, kita jadikan |AB| sebagai perkara rumus:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |TA|$$

Mula-mula, kita gantikan panjang |TA| dengan |x − x₀|:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

Kemudian kita gantikan $\tan (\sphericalangle ATB)$ dengan terbitan fungsi f pada titik x₀, iaitu f′(x₀):

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Dengan ini, kita telah menghitung panjang tembereng garis AB. Dalam rajah, x > x₀ dan terbitan positif, tetapi secara am kita menulis (x − x₀) sebagai ganti |x − x₀| supaya tandanya betul. Jadi, kita boleh menulis: fungsi f cembung pada titik x₀ jika wujud suatu kejiranan tertusuk O bagi titik x₀ dengan keadaan bagi semua x dalam kejiranan O ini berlaku hubungan:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

Seluruh sebelah kanan ketaksamaan ini sebenarnya sama dengan nilai t(x). Jika anda melihat rajah, apabila anda menambahkan panjang tembereng garis AB kepada f(x₀), anda memperoleh t(x).

Cara mencari titik lengkok balas

Tanpa pembuktian, kita nyatakan bahawa fungsi f(x) cembung pada titik x₀ jika f′′(x₀)>0, dan cekung jika f′′(x₀)<0. Dengan kata lain, jika terbitan kedua pada suatu titik positif, fungsi itu cembung (cekung ke atas) pada titik tersebut.

Sama seperti ekstremum fungsi memisahkan bahagian fungsi yang menyusut dan bahagian yang menokok, titik lengkok balas memisahkan bahagian fungsi yang cembung dan yang cekung. Jadi, titik lengkok balas ialah titik tempat fungsi berubah daripada cembung kepada cekung atau sebaliknya. Sebelum ini kita telah menyebut bahawa walaupun terbitan pertama pada suatu titik sama dengan sifar, tidak semestinya terdapat ekstremum di situ. Mungkin terdapat titik lengkok balas.

Apakah syarat bagi titik lengkok balas? Pada titik itu, fungsi berubah daripada cembung kepada cekung (atau sebaliknya), jadi pada titik itu tidak mungkin berlaku f′′(x)>0 ataupun f′′(x)<0. Jika fungsi mempunyai terbitan kedua pada titik itu, mesti berlaku f′′(x) = 0. Jika f′′(x) = 0 dan pada masa yang sama f′′′(x) ≠ 0, titik x ialah titik lengkok balas. Contoh:

Cari titik lengkok balas bagi fungsi f(x) = x³. Grafnya:

Kita hitung terbitan pertama, kedua dan ketiga:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

Kita lihat bahawa f′(x) = 0 bagi x = 0, dan begitu juga f′′(0) = 0. Terbitan kedua fungsi ini sama dengan sifar pada titik 0. Pada masa yang sama, terbitan ketiga positif, iaitu bukan sifar. Maka, fungsi ini mempunyai titik lengkok balas pada titik x = 0. Daripada graf, kita lihat bahawa fungsi ini berubah daripada cekung kepada cembung.