Bulatan unit

Bulatan unit ialah bulatan biasa yang tidak berdimensi. Lebih tepat lagi, jejari bulatan ini sama dengan satu. Bulatan unit digunakan untuk menggambarkan takrif setiap fungsi trigonometri dengan cara yang mudah difahami.

Pengertian bulatan unit

Bulatan unit ialah bulatan yang jejarinya sepanjang satu unit dan pusatnya terletak pada asalan sistem koordinat, iaitu pada titik (0, 0). Lihat rajah berikut:

Bulatan ini dibahagikan kepada empat bahagian yang dipanggil sukuan. Sukuan I terletak di kanan atas, sukuan II di kiri atas, sukuan III di kiri bawah dan sukuan IV di kanan bawah. Oleh sebab bulatan ini akan digunakan untuk menggambarkan sudut, darjah ditandakan pada bulatan. Lengan sudut biasanya bermula pada sifar darjah dan berputar mengikut lawan arah jam. Oleh itu, titik (0, 1) ditandakan dengan sudut tegak.

Takrif sinus dan kosinus pada bulatan

Setiap fungsi trigonometri dapat digambarkan dengan sangat jelas pada bulatan unit. Pertama, kita lukis suatu sudut pada bulatan unit, kemudian kita lihat di mana nilai setiap fungsi dapat dibaca.

Kita telah melukis sudut AOB (merah) pada bulatan. Kita namakan sudut ini alfa. Lengan sudut menyilang bulatan unit pada dua titik: A dan B. Titik yang penting bagi kita ialah titik B. Jika kita melukis garis lurus melalui titik B yang selari dengan paksi-x (dalam rajah, garis putus-putus mengufuk), garis itu menyilang paksi-y pada satu titik sahaja. Kita namakan titik ini P_s. Panjang tembereng garis OP_s (tembereng hijau) sama dengan sinus sudut alfa.

Oleh sebab kita menggunakan bulatan unit yang berpusat pada asalan sistem koordinat, panjang tembereng garis OP_s (tembereng hijau) sama dengan koordinat-y bagi titik P_s, yang juga sama dengan koordinat-y bagi titik B.

Pada bulatan yang sama, kita juga dapat membaca kosinus. Kita lukis garis lurus yang selari dengan paksi-y dan melalui titik B. Garis ini menyilang paksi-x pada titik yang kita namakan P_c. Panjang tembereng garis OP_c sama dengan kosinus sudut alfa. Sekali lagi, nilai ini sama dengan koordinat-x bagi titik B dan P_c.

Takrif tangen dan kotangen

Sama seperti kita mentakrifkan sinus dan kosinus pada bulatan unit, kita juga boleh mentakrifkan tangen dan kotangen. Supaya lebih jelas, kita lihat dahulu di mana tangen terdapat pada bulatan unit. Untuk itu, kita memerlukan satu lagi garis lurus. Garis ini selari dengan paksi-y dan melalui titik A, iaitu titik (1, 0). Dalam rajah berikut, garis itu berwarna biru:

Garis ini menyilang sinar (lengan sudut) OB pada satu titik yang kita namakan P_t. Panjang tembereng garis AP_t sama dengan tangen sudut alfa. Sekali lagi, kita hanya perlu mengambil koordinat-y bagi titik P_t untuk memperoleh tangen sudut alfa.

Untuk menggambarkan kotangen pada bulatan unit, kita memerlukan satu lagi garis lurus. Kali ini garis itu melalui titik (0, 1) dan selari dengan paksi-x. Garis ini juga ditandakan dengan warna biru:

Garis ini menyilang sinar (lengan sudut) OB pada satu titik yang kita namakan P_k. Panjang tembereng garis CP_k sama dengan kotangen sudut alfa. Seperti biasa, kita boleh mengambil koordinat-x bagi titik P_k sahaja untuk memperoleh kotangen sudut itu.

Persoalannya, apakah yang berlaku jika sudut alfa lebih besar daripada 90 darjah bagi tangen, atau lebih besar daripada 180 darjah bagi kotangen? Dalam kes ini, garis itu tidak menyilang lengan sudut, seperti dalam rajah berikut:

Dalam kes ini, kita panjangkan sinar OB menjadi garis lurus, dan garis lurus ini akan menyilang garis p.

Kita menggunakan cara yang sama bagi tangen.

Bila tangen dan kotangen tidak tertakrif

Pada bulatan unit, kita dapat memerhatikan satu perkara yang menarik. Jika sudut alfa sama dengan 180 darjah, garis p dan lengan sudut tidak akan bersilang, kerana kedua-duanya selari. Bagaimanakah kita menyelesaikan masalah ini? Kita tidak dapat menyelesaikannya: kotangen 180 darjah tidak tertakrif. Begitu juga, tangen 90 darjah tidak tertakrif, kerana lengan sudut itu selari dengan paksi-y, jadi lengan itu juga selari dengan garis yang sepatutnya disilanginya. Rajah berikut menunjukkan perkara ini bagi kotangen.