Sifat sinus, kosinus, tangen dan kotangen

Sinus dan kosinus ialah fungsi trigonometri asas.

Sinus

Sinus sudut alfa sama dengan nisbah panjang sisi bertentangan kepada panjang hipotenus dalam segi tiga bersudut tegak.

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Panjang sisi bertentangan}}{\text{Panjang hipotenus}}$$

Graf fungsi sinus ialah lengkung yang dipanggil graf sinus. Graf ini ditunjukkan dalam rajah berikut:

Sinus ialah fungsi berkala dengan kala terkecil 2π. Sifat-sifat lain:

• Domain ialah set semua nombor nyata.
• Julat ialah selang [−1, 1].
• Sinus mencapai maksimum pada titik yang tak terhingga banyaknya. Lebih tepat lagi, maksimum “pertama” dicapai pada $x=\frac{\pi }{2}$. Oleh sebab sinus ialah fungsi berkala, maksimum juga dicapai pada setiap titik $\frac{\pi }{2}+2k\pi$, dengan k ialah integer. Nilai maksimumnya ialah 1.
• Begitu juga bagi minimum: sinus mencapai minimum pada titik $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, dengan k ialah integer, dan nilai minimumnya ialah −1.
• Sinus ialah fungsi ganjil dan fungsi terbatas.

Kosinus

Kosinus sudut alfa sama dengan nisbah panjang sisi bersebelahan kepada panjang hipotenus dalam segi tiga bersudut tegak. Jadi, jika kita mengira kosinus sudut alfa dengan kalkulator, kita memperoleh nilai hasil bahagi

$$\mathrm{kos}(\alpha )=\frac{\text{panjang sisi bersebelahan}}{\text{panjang hipotenus}}.$$

Graf fungsi kosinus ialah lengkung yang dipanggil graf kosinus. Graf ini ditunjukkan dalam rajah berikut:

Kosinus ialah fungsi berkala dengan kala terkecil 2π. Sifat-sifat lain:

• Domain ialah set semua nombor nyata.
• Julat ialah selang [−1, 1].
• Kosinus mencapai maksimum pada titik yang tak terhingga banyaknya. Lebih tepat lagi, maksimum “pertama” dicapai pada x = 0. Oleh sebab kosinus ialah fungsi berkala, maksimum juga dicapai pada setiap titik 2kπ, dengan k ialah integer. Nilai maksimumnya ialah 1.
• Begitu juga bagi minimum: kosinus mencapai minimum pada titik π + 2kπ, dengan k ialah integer, dan nilai minimumnya ialah −1.
• Kosinus ialah fungsi genap dan fungsi terbatas.

Tangen

Tangen sudut alfa sama dengan nisbah panjang sisi bertentangan kepada panjang sisi bersebelahan dalam segi tiga bersudut tegak. Tangen biasanya ditulis sebagai tan, dan di sesetengah negara juga tg.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Panjang sisi bertentangan}}{\text{Panjang sisi bersebelahan}}$$

Graf fungsi ini ialah lengkung yang dipanggil graf tangen:

Tangen berbeza daripada fungsi-fungsi tadi terutamanya dari segi kala, yang bukan lagi 2π, tetapi hanya π. Sifat-sifat lain:

• Domain ialah set

$$D_{\tan }=\mathbb{R}-\{\frac{\pi }{2}+k\pi \}k\in \mathbb{Z}$$

• Julat ialah set semua nombor nyata.
• Tangen tidak mempunyai maksimum atau minimum dan tidak terbatas.
• Tangen ialah fungsi ganjil.

Kotangen

Kotangen sudut alfa sama dengan nisbah panjang sisi bersebelahan kepada panjang sisi bertentangan. Kotangen biasanya ditulis sebagai cot atau cotan, dan dalam buku teks di Malaysia sebagai kot.

$$\mathrm{kot}(\alpha )=\frac{\text{Panjang sisi bersebelahan}}{\text{Panjang sisi bertentangan}}$$

Graf fungsi ini ialah lengkung yang dipanggil graf kotangen:

Sifat-sifat lain:

• Kalanya juga π, sama seperti tangen.
• Domain ialah set

$$D_{\mathrm{kot}}=\mathbb{R}-\left\{k\pi \right\};k\in \mathbb{Z}$$

• Julat ialah set semua nombor nyata.
• Kotangen tidak mempunyai maksimum atau minimum dan tidak terbatas.
• Kotangen ialah fungsi ganjil.

Hubungan antara sinus dengan kosinus

Fungsi-fungsi trigonometri mempunyai hubungan yang rapat antara satu sama lain. Jika anda melihat graf fungsi sinus dan kosinus serentak, anda akan dapati bahawa kedua-duanya tidak banyak berbeza. Satu graf hanya dianjak sedikit berbanding graf yang lain.

Jadi, jika kita menambah π/2 kepada sudut dalam fungsi sinus, kita memperoleh fungsi kosinus:

Sebaliknya, jika kita menolak π/2 daripada sudut dalam fungsi kosinus, kita memperoleh sinus.

Jadi, kita boleh menulis rumus berikut:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)& =& \mathrm{kos}(x-\frac{\pi }{2})\\ \mathrm{kos}(x)& =& \sin (x+\frac{\pi }{2})\end{array}$$

Mengungkapkan tangen dan kotangen

Fungsi tangen mudah diungkapkan dalam sebutan sinus dan kosinus. Kita hanya perlu mengingat maksud tangen: nisbah panjang sisi bertentangan kepada panjang sisi bersebelahan. Mari kita gunakan segi tiga ini:

Berapakah tangen sudut beta?

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}.$$

Bagaimanakah kita boleh mengungkapkan pengangka atau penyebut? Berapakah panjang sisi b dan panjang sisi c? Kita tahu bahawa sinus sudut beta ialah:

$$\sin (\beta )=\frac{|b|}{|a|}$$

Daripada rumus ini kita jadikan |b| sebagai perkara rumus:

$$|b|=\sin (\beta )\cdot |a|$$

Kosinus sudut beta ialah:

$$\mathrm{kos}(\beta )=\frac{|c|}{|a|}$$

Kita jadikan |c| sebagai perkara rumus:

$$|c|=\mathrm{kos}(\beta )\cdot |a|$$

Sekarang panjang sisi b dan c telah diungkapkan dalam sebutan fungsi sinus dan kosinus. Kita gantikan hasil perantaraan ini ke dalam persamaan asal bagi tangen:

$$\tan (\beta )=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin (\beta )\cdot |a|}{\mathrm{kos}(\beta )\cdot |a|}$$

Kita permudahkan |a| dalam pengangka dan penyebut, dan memperoleh rumus akhir:

$$\tan (\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\mathrm{kos}(\beta )}$$

Jadi, tangen boleh ditulis sebagai hasil bahagi sinus dengan kosinus. Tanpa pembuktian, kita nyatakan bahawa kotangen boleh ditulis sebagai pecahan songsangnya, iaitu kosinus dibahagi dengan sinus.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{\sin (\alpha )}{\mathrm{kos}(\alpha )}\\ \mathrm{kot}(\alpha )& =& \frac{\mathrm{kos}(\alpha )}{\sin (\alpha )}\end{array}$$

Hubungan antara tangen dengan kotangen

Sama seperti fungsi sinus dan kosinus saling menyerupai, fungsi tangen dan kotangen juga saling menyerupai. Perhatikan kedua-dua graf dalam satu rajah:

Bagaimanakah kita mengubah lengkung tangen menjadi lengkung kotangen? Kotangen dianjak sejauh π/2, jadi kita mulakan dengan itu:

Kita sudah semakin hampir dengan kotangen, tetapi lengkungnya masih menghala ke arah yang salah. Kotangen menyusut pada selang tertentu, manakala lengkung yang dianjak ini menokok. Kita atasi masalah ini dengan menukar tanda pemboleh ubah x:

Jadi, kita boleh menulis:

$$\mathrm{kot}(x)=\tan (-x+\frac{\pi }{2})$$

Nilai bagi sudut khas

Bagi sesetengah sudut yang “cantik”, sinus, kosinus, tangen dan kotangen mempunyai nilai yang cantik. Berikut ialah ringkasannya:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \mathrm{kos}& \tan & \mathrm{kot}\\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$