Sudut berarah

Lengan sudut membahagikan satah kepada dua sudut tak berarah, satu lebih besar dan satu lebih kecil (kecuali jika kedua-duanya sama). Supaya jelas sudut yang mana satu yang dimaksudkan, kita memperkenalkan konsep sudut berarah.

Mengapa sudut berarah diperlukan

Lihat rajah berikut yang menunjukkan sudut AVB.

Persoalannya, sudut yang mana satu yang dimaksudkan? Secara gerak hati, anda mungkin menganggap bahawa yang dimaksudkan ialah sudut yang lebih kecil, tetapi boleh jadi yang dimaksudkan ialah sudut yang lebih besar. Rajah berikut menunjukkan dua sudut berbeza yang dibentuk oleh dua sinar yang sama:

Tanpa maklumat tambahan, kita tidak dapat menentukan sama ada sudut AVB bermaksud sudut alfa atau sudut beta. Untuk mengelakkan kekeliruan ini, konsep sudut berarah diperkenalkan.

Arah positif dan arah negatif

Sudut berarah membantu kita menentukan sudut yang dimaksudkan. Untuk itu, dua perkara perlu ditetapkan. Pertama, lengan sudut mesti disebut mengikut urutan yang betul. Jadi, sudut AVB berbeza daripada sudut BVA, walaupun lengannya sama, iaitu sinar VA dan VB. Bagi sudut AVB, sinar VA dipanggil lengan awal sudut berarah dan sinar VB dipanggil lengan akhir sudut berarah. Titik sepunya V dipanggil bucu sudut berarah.

Baiklah, kita sudah tahu bahawa urutan lengan sudut penting. Namun, kita masih belum tahu arah mana yang perlu diikuti untuk memperoleh sudut AVB. Sudut AVB boleh terbentuk dalam dua arah, seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut:

Lengan awal sudut ialah sinar VA. Dari sini, sudut boleh dibentuk dalam dua arah, seperti yang ditunjukkan oleh anak panah hijau dan anak panah merah dalam rajah. Kita boleh menamakan arah ini mengikut jarum jam: arah hijau ialah lawan arah jam dan arah merah ialah ikut arah jam.

Dalam matematik, arah ini dinamakan secara berbeza, iaitu arah positif dan arah negatif. Arah positif sepadan dengan anak panah hijau, iaitu lawan arah jam. Arah negatif sepadan dengan anak panah merah, iaitu ikut arah jam.

Rajah berikut meringkaskan perkara ini:

Pengertian sudut berarah

Sudut berarah ialah pasangan tertib dua sinar yang mempunyai titik permulaan yang sama. Jadi, kita boleh menulis sudut berarah sebagai pasangan sinar, misalnya seperti ini:

$$⟨\overrightarrow{VA},\overrightarrow{VB}⟩,$$

tetapi tatatanda yang lebih ringkas ialah $\widehat{AVB}$. Selain itu, jika sinar VA dan VB berbeza, maka sudut $\widehat{AVB}$ dan $\widehat{BVA}$ juga berbeza.

Sekarang kita takrifkan saiz asas sudut berarah. Saiz asas sudut berarah $\widehat{AVB}$ sama dengan saiz sudut tak berarah yang terbentuk apabila lengan awal VA diputarkan ke kedudukan lengan akhir VB dalam arah positif, iaitu lawan arah jam.

Saiz asas sudut sentiasa terletak dalam selang [0°, 360°). Perhatikan bahawa selang ini terbuka di sebelah kanan. Saiz asas sudut tidak boleh sama dengan 360 darjah. Sudut sebegini bertindih dengan sudut bersaiz sifar darjah, jadi kita menulis sifar darjah, bukan 360 darjah. Dalam ukuran radian, sudut terletak dalam selang [0, 2π).

Selain saiz asas, terdapat juga saiz sudut berarah yang biasa. Takrifnya sama, tetapi saiz ini boleh lebih besar daripada saiz asas. Jika semasa membentuk sudut kita membuat satu pusingan penuh dan terus memutarkan lengan awal, kita boleh memperoleh sudut yang lebih besar daripada 360 darjah. Jika kita membuat satu setengah pusingan, kita memperoleh sudut bersaiz 360 + 180 = 540 darjah. Saiz ini ialah saiz sudut berarah yang sah. Namun, sudut ini sama dengan sudut bersaiz 180 darjah.

Setiap saiz sudut berarah seperti ini mudah ditukar kepada saiz asas: bahagikan saiz itu dengan 360 dalam pembahagian integer, dan bakinya ialah saiz asas. Mari kita tukar 540 darjah tadi kepada saiz asas:

$$540:360=1(\text{baki }180)$$

Begitu juga bagi saiz lain. Misalnya, bagi sudut bersaiz 750, 1080 dan 2000 darjah, kita memperoleh:

$$\begin{array}{rcl}750:360=2& & (\text{baki }30)\\ 1080:360=3& & (\text{baki }0)\\ 2000:360=5& & (\text{baki }200)\end{array}$$

Saiz asas sudut-sudut ini ialah 30, 0 dan 200 darjah. Jika kita mengira dalam radian, kita membahagi dengan 2π.