Ukuran radian

Radian, seperti darjah, ialah unit untuk mengukur saiz sudut. Radian ditakrifkan pada bulatan unit. Satu radian ialah sudut pada pusat yang dicangkum oleh lengkok yang panjangnya sama dengan jejari bulatan itu.

Takrif

Untuk mentakrifkan ukuran radian, kita memerlukan bulatan unit. Pada bulatan ini, kita tandakan dua titik, A dan B, supaya lengkok di antara kedua-duanya mempunyai panjang satu, iaitu panjang lengkok sama dengan jejari bulatan. Jika pusat bulatan ialah titik S, maka sudut ASB bersaiz tepat satu radian.

Tembereng garis AS ialah jejari bulatan dan diwarnakan merah. Garis merah kedua, iaitu lengkok AB, mesti sama panjang. Perkara pentingnya ialah kita tidak berminat dengan jarak terus antara titik A dan B, iaitu tembereng garis AB, tetapi dengan panjang lengkok itu.

Berapakah nilai satu radian dalam darjah? Lebih kurang 57° 17′ 45′′. Nilai tepatnya tidak dapat ditulis sebagai nombor yang terhingga. Jadi, apakah gunanya unit seperti ini?

Mengira dengan radian

Mula-mula, mari kita jawab soalan ini: berapakah radian yang sepadan dengan seluruh bulatan, iaitu dengan 360 darjah? Kita tahu bahawa panjang lengkok bagi satu radian sama dengan jejari bulatan. Berapakah lengkok sebegini yang muat di sekeliling seluruh bulatan? Panjang seluruh bulatan (iaitu lilitannya) ialah

$$P=2\pi r.$$

Lengkok kita mempunyai panjang r. Untuk mengetahui berapa kali lengkok itu muat pada bulatan, kita bahagikan lilitan/jejari dan memperoleh:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi .$$

Jadi, jawapannya ialah sebanyak 2π lengkok sebegini muat di sekeliling bulatan. Nombor ini agak cantik. Oleh itu, kita boleh menulis

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ rad}\text{dan}{180}^{\circ }=\pi \text{ rad}.$$

Unit rad juga sering ditinggalkan, dan kita hanya menulis sudut bersaiz, misalnya, 2π.

Rajah berikut menunjukkan tiga sudut yang setiap satunya bersaiz satu radian, iaitu sudut alfa, beta dan gama. Anda dapat melihat bahawa hasil tambah ketiga-tiga sudut itu hampir 180 darjah. Namun begitu, 180 darjah memerlukan π radian, dan nilai hampiran π ialah 3.1415…, jadi masih ada sedikit lagi yang kurang.

Penukaran darjah kepada radian dan sebaliknya

Kebanyakan alat dan perisian yang mengira fungsi trigonometri menggunakan radian secara lalai. Hal ini menyusahkan jika sudut diberi dalam darjah. Anda ada dua pilihan: jika boleh, tukar tetapan alat itu supaya mengira dalam darjah, atau tukar darjah kepada radian.

Misalnya, enjin carian Google mempunyai kalkulator terbina dalam, jadi anda boleh mengira nilai sinus di situ. Secara lalai, kalkulator itu menggunakan radian. Jadi, jika kita cuba mengira sin(30), kita tidak memperoleh jawapan yang betul, iaitu 0.5, kerana Google menganggapnya tiga puluh radian, bukan tiga puluh darjah. Namun, jika kita menambah perkataan “degrees” (bahasa Inggeris bagi “darjah”) selepas nombor itu, hasilnya betul: sin(30 degrees). Kebanyakan kalkulator mempunyai dua mod, satu untuk darjah dan satu lagi untuk radian. Biasanya terdapat butang yang bertanda rad dan deg. Rad ialah singkatan bagi radian, manakala deg ialah singkatan bagi degree.

Jika tiada pilihan lain, anda perlu menukar darjah kepada radian atau sebaliknya. Mari kita mulakan dengan penukaran darjah kepada radian. Kita sudah tahu bahawa 180° = π rad. Kita ingin tahu berapa radian bagi satu darjah, jadi kita bahagikan persamaan itu dengan 180:

$$1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$$

Kini kita tahu nilai satu darjah dalam radian. Jika kita perlu menukar, misalnya, tiga puluh darjah, kita darabkan pecahan ini dengan tiga puluh:

$${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}\text{ rad}=\frac{\pi }{6}\text{ rad}.$$

Begitu juga bagi sudut yang lain.

Sekarang kes sebaliknya, iaitu penukaran radian kepada darjah. Sekali lagi kita bermula dengan 180° = π rad. Jika kita mempunyai 2π radian, kita memperoleh dua kali ganda darjah, iaitu 360. Jika kita hanya mempunyai separuh daripada π radian, kita memperoleh separuh bilangan darjah, iaitu 90. Jadi, mula-mula kita bahagikan nilai dalam radian dengan π untuk mengetahui sudut itu bersamaan dengan berapa kali 180 darjah. Kemudian, kita darabkan nilai itu dengan 180 untuk memperoleh sudut dalam darjah. Jika kita mempunyai sudut bersaiz 3π/2 radian, selepas pembahagian kita memperoleh:

$$\frac{3\pi }{2}:\pi =\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{3}{2}$$

Kita darabkan hasil ini dengan 180 dan memperoleh sudut dalam darjah: 3/2 · 180 = 270. Bagi dua radian pula, kita memperoleh:

$$2\text{ rad}=\frac{2}{\pi }\cdot 180={\left(\frac{360}{\pi }\right)}^{\circ }=114.59{\dots }^{\circ }$$

Hubungan asas antara nilai dalam radian dan nilai dalam darjah ditunjukkan oleh rumus ini (rad ialah nilai dalam radian, deg ialah nilai dalam darjah):

$$deg=rad\cdot \frac{{180}^{\circ }}{\pi }.$$

Sejarah

Konsep radian mungkin pertama kali diperkenalkan oleh Roger Cotes pada tahun 1714. Pada masa itu, unitnya belum dinamakan “radian”, tetapi takrif dan sifatnya yang lain sama. Istilah “radian” pertama kali muncul dalam bentuk bertulis pada 5 Jun 1873 dalam rencana oleh James Thomson. Unit ini juga hampir dinamakan “radial” atau hanya “rad”. (Sumber: wiki)

Jadual penukaran asas

Beberapa sudut agak kerap digunakan, jadi jadual berikut memberikan nilainya dalam darjah dan nilai yang setara dalam radian:

$$\begin{array}{ccccccccc}\text{deg: }& 0& 30& 45& 60& 90& 180& 270& 360\\ \text{rad: }& 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{2}& \pi & \frac{3\pi }{2}& 2\pi \end{array}$$