Hasil tambah sudut poligon

Jika kita menambah sudut pedalaman sebarang segi tiga, hasilnya sentiasa 180°. Tidak kira sama ada segi tiga itu tirus, cakah atau sekecil setem. Bagaimana pula dengan sisi empat, pentagon atau heksagon? Berapakah hasil tambah sudut-sudutnya?

Bahagikan kepada segi tiga

Ambil pentagon ABCDE. Dari bucu A, lukis pepenjuru ke semua bucu yang belum disambungkan kepadanya oleh sisi. Pepenjuru itu ialah AC dan AD. Pepenjuru ini membahagikan pentagon kepada tiga segi tiga:

Lihat sudut-sudut yang berwarna. Setiap sudut segi tiga terletak pada salah satu bucu pentagon, dan bersama-sama sudut-sudut itu memenuhi semua sudut pedalaman pentagon. Tiada yang berlebihan dan tiada yang kurang. Di bucu A bertemu sudut daripada ketiga-tiga segi tiga, manakala di C dan D hanya daripada dua segi tiga. Oleh itu, hasil tambah sudut pentagon sama dengan hasil tambah sudut tiga segi tiga, iaitu 3 · 180°.

Hal yang sama berlaku bagi setiap poligon cembung. Dari satu bucu, pepenjuru dilukis ke semua bucu lain kecuali dua bucu jirannya, jadi poligon n sisi terbahagi kepada n − 2 segi tiga. Maka, hasil tambah sudut pedalaman poligon n sisi ialah

$$(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Rumus ini juga berlaku bagi poligon cekung, iaitu poligon yang mempunyai sudut pedalaman lebih besar daripada 180°. Poligon seperti ini juga boleh dibahagikan kepada segi tiga, tetapi tidak semestinya semua pepenjuru bermula dari bucu yang sama.

Sisi empat mempunyai empat bucu, jadi kita gantikan n = 4:

$$(4-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Hasil ini juga betul bagi segi empat sama: empat sudut tegaknya berjumlah 4 · 90° = 360°.

Bagi pentagon, n = 5:

$$(5-2)\cdot {180}^{\circ }=3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Bagi heksagon pula, n = 6:

$$(6-2)\cdot {180}^{\circ }=4\cdot {180}^{\circ }={720}^{\circ }$$

Setiap bucu tambahan menambah satu segi tiga, dan hasil tambah sudut bertambah sebanyak 180°.

Mengapa bukan n segi tiga?

Poligon juga boleh dipotong dengan cara lain. Pilih titik S di dalam poligon dan sambungkan titik itu kepada semua bucu. Pentagon terbahagi kepada lima segi tiga. Kesimpulan yang menggoda ialah hasil tambah sudutnya 5 · 180°. Namun, kesimpulan ini salah.

Sudut-sudut segi tiga di titik S bukan sudut pedalaman pentagon. Bersama-sama, sudut-sudut ini membentuk sudut satu putaran lengkap 360°, jadi kita perlu menolaknya:

$$5\cdot {180}^{\circ }-{360}^{\circ }={900}^{\circ }-{360}^{\circ }={540}^{\circ }$$

Hasilnya sama seperti tadi. Hasil yang sama juga diperoleh bagi setiap poligon cembung n sisi kerana 360° = 2 · 180°:

$$n\cdot {180}^{\circ }-2\cdot {180}^{\circ }=(n-2)\cdot {180}^{\circ }$$

Poligon sekata

Dalam poligon sekata, semua sisi sama panjang dan semua sudut sama besar. Untuk memperoleh satu sudut, kita bahagikan hasil tambah semua sudut dengan bilangannya, n:

$$\frac{(n-2)\cdot {180}^{\circ }}{n}$$

Setiap sudut pentagon sekata ialah 540°:5 = 108°, manakala bagi heksagon sekata, 720°:6 = 120°.

Lebah membina heksagon sekata. Sarang lebah tersusun daripada heksagon tanpa sebarang ruang kosong kerana di setiap bucu bertemu tiga heksagon, dan sudut-sudutnya berjumlah

$$3\cdot {120}^{\circ }={360}^{\circ },$$

iaitu tepat satu putaran lengkap.

Dengan pentagon sekata, hal ini tidak mungkin: tiga sudut 108° berjumlah 324°, jadi masih ada ruang kosong, manakala empat sudut berjumlah 432°, iaitu terlalu banyak. Cara mengira luas poligon sekata diterangkan dalam artikel luas poligon sekata n sisi.

Hasil tambah sudut peluaran ialah 360°

Sudut peluaran terbentuk apabila sisi poligon dipanjangkan melepasi bucu. Sudut ini ialah sudut antara pemanjangan itu dengan sisi yang berikutnya. Bayangkan anda berjalan mengelilingi pentagon di sepanjang perimeternya. Di setiap bucu, anda berpusing sebanyak sudut peluaran. Apabila anda kembali ke titik permulaan, anda menghadap arah yang sama seperti pada awalnya, jadi anda telah berpusing satu putaran lengkap, iaitu 360°.

Muka jam di sebelah kanan menunjukkan jumlah putaran anak panah setakat itu.

Hasil yang sama diperoleh melalui pengiraan. Sudut pedalaman dan sudut peluaran pada satu bucu ialah sudut bersebelahan pada garis lurus, jadi jumlahnya 180°. Bagi n bucu, jumlahnya n · 180°. Daripada jumlah ini, (n − 2) · 180° ialah sudut pedalaman, dan bakinya untuk sudut peluaran ialah

$$n\cdot {180}^{\circ }-(n-2)\cdot {180}^{\circ }=2\cdot {180}^{\circ }={360}^{\circ }$$

Bilangan bucu tidak penting. Hasil tambah sudut peluaran poligon cembung sentiasa 360°, sama ada bagi segi tiga atau poligon seratus sisi.

Lihat juga

• Segi tiga
• Luas poligon sekata n sisi
• Sudut
• Kekongruenan segi tiga