Aria totală a conului

Aria totală a conului ne spune, pe scurt, câtă hârtie sau câtă tablă ne trebuie ca să facem sau să acoperim tot conul. Nu o confunda cu volumul conului – acesta arată câtă apă încape în con. Conul are două părți: jos baza circulară, iar deasupra ei suprafața laterală, care se îngustează până în vârf.

Raza bazei r este marcată în figură cu roșu, înălțimea h cu albastru, iar generatoarea conului g cu verde – ea măsoară distanța de la vârf până la marginea bazei.

Formula ariei totale a conului

Dacă ai nevoie doar de formulă, aria totală ${\mathcal{A}}_t$ a conului a cărui bază are raza r și a cărui generatoare măsoară g se calculează ca

$${\mathcal{A}}_t=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot g$$

Primul termen al sumei este aria bazei, al doilea aria laterală. Uneori formula se scrie și cu π · r scos factor comun:

$${\mathcal{A}}_t=\pi \cdot r\cdot (r+g)$$

Să luăm un con cu raza bazei r = 3 și generatoarea g = 5. Aria lui totală este

$${\mathcal{A}}_t=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Dacă vrei să scrii rezultatul ca un număr obișnuit, nu cu pi, înlocuiește constanta cu valoarea aproximativă 3,14:

$${\mathcal{A}}_t\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Cum am ajuns la formulă?

Baza este un simplu disc, iar aria ei o cunoaștem din formula pentru aria discului: π · r².

Cu suprafața laterală lucrurile sunt mai interesante. Dacă o tăiem de-a lungul generatoarei și o întindem pe masă, obținem un sector circular de rază g. Figura arată desfășurarea întregului con: sectorul roșu este suprafața laterală, discul albastru este baza. În figură desfășurarea se împăturește într-un con și apoi se desface la loc.

Arcul portocaliu al sectorului era, înainte de tăiere, marginea bazei, de aceea are aceeași lungime ca cercul portocaliu de jos, adică lungimea cercului 2π r. Cercul întreg de rază g ar avea lungimea 2π g. Sectorul reprezintă din discul întreg de rază g exact aceeași parte pe care o reprezintă arcul din cercul întreg:

$$\frac{2\pi r}{2\pi g}=\frac{r}{g}$$

La conul din exemplul de mai sus, sectorul reprezintă trei cincimi din disc, exact ca în figură. Discul întreg ar avea aria π · g², iar suprafața laterală reprezintă din el fracțiunea $\frac{r}{g}$:

$${\mathcal{A}}_l=\frac{r}{g}\cdot \pi \cdot g^2=\pi \cdot r\cdot g$$

Dacă adăugăm la suprafața laterală și baza, obținem formula întreagă ${\mathcal{A}}_t=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot g$.

Exemplu: pălăria de hârtie

Se pregătește o petrecere și vrem să facem pentru ea o pălărie de hârtie în formă de con. Jos trebuie să aibă raza de 8 cm, iar înălțimea să fie de 15 cm. Câtă hârtie ne trebuie?

Formula cere însă generatoarea g, nu înălțimea. Dar înălțimea, raza și generatoarea formează un triunghi dreptunghic, așa că generatoarea o aflăm cu teorema lui Pitagora. Înlocuim r = 8 și h = 15:

$$g=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Ridicăm la pătrat:

$$g=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Mai rămâne să extragem rădăcina pătrată:

$$g=17$$

Aici ne așteaptă o capcană: pălăria nu are fund. Cine ar folosi formula întreagă ar face o pălărie cu bază, iar una ca asta e destul de incomod de purtat. Calculăm deci doar suprafața laterală:

$${\mathcal{A}}_l=\pi \cdot r\cdot g=\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

Înlocuim valoarea aproximativă a lui pi:

$${\mathcal{A}}_l\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

Pentru pălărie ne trebuie aproximativ 427 de centimetri pătrați de hârtie, plus încă puțin pentru lipit.

Calculator

Introdu raza bazei și generatoarea; unitățile de măsură le poți schimba la fiecare câmp. Calculatorul folosește valoarea exactă a lui pi, de aceea rezultatul lui va fi puțin mai mare decât 75,36.

Vezi și

• Volumul conului
• Sectorul circular
• Aria totală a cilindrului
• Aria totală a piramidei