Inecuația de gradul întâi

Inecuațiile de gradul întâi se rezolvă prin transformări asemănătoare cu cele de la o ecuație de gradul întâi obișnuită. Inecuația de gradul întâi are de obicei forma ax + b>0 (sau, după caz, mai mic, mai mare sau egal, mai mic sau egal). Acum este suficient să aducem inecuația la forma următoare și rezultatul e gata: x>−b/a. Bineînțeles, presupunem că a>0. Pentru a negativ, la împărțire s-ar schimba sensul inegalității și ar ieși x<−b/a.

Inecuația de gradul întâi obișnuită

Inecuația de gradul întâi poate fi rezolvată cu transformări echivalente ale inecuațiilor.

• Un exemplu simplu poate arăta astfel:

  $$3x+9>3$$

  Mai întâi mutăm toți termenii fără necunoscută în membrul drept. Adunăm deci în inecuație numărul −9 și obținem inecuația:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  Apoi împărțim întreaga inecuație la trei:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Acesta este rezultatul întregii inecuații. Inecuația are soluții pentru toți x > −2.

  Inecuația am putea-o rezolva și grafic. Dacă avem inecuația 3x + 9 > 3, desenăm graficele a două funcții – cea din membrul stâng și cea din membrul drept al inecuației. Obținem funcțiile f(x) = 3x + 9 și g(x) = 3. Graficele lor arată astfel:

  

  Vedem că aceste grafice se intersectează într-un singur punct x₁, a cărui abscisă este chiar −2. Vedem și că pentru toți x > x₁, adică pentru toți x din intervalul (−2, +∞), funcția roșie 3x + 9 este „deasupra” funcției albastre 3 (aici „deasupra” înseamnă „are ordonata mai mare”). Ceea ce corespunde rezultatului la care am ajuns calculând adineauri.

• Uneori, dacă ai multe minusuri, este util să înmulțești întreaga inecuație cu minus unu. În acest caz trebuie să schimbi, pe lângă semnele termenilor, și sensul inegalității – din „mai mare decât” să faci „mai mic decât” și invers:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Bineînțeles, acest lucru este valabil oricând înmulțești întreaga inecuație cu orice număr negativ. Iată deci încă un exemplu rapid:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  În primul pas adunăm normal la inecuație −2x, deci mutăm toți termenii cu variabilă în membrul stâng. În același timp scădem opt, ceea ce mută constantele în membrul drept. Apoi doar înmulțim întreaga inecuație cu $-\frac{1}{5}$.

  Pentru ilustrare, privește rezolvarea grafică a inecuației, în care desenăm două funcții, f(x) = −3x + 8 și g(x) = 2x − 7.

  

  Vedem că graficul roșu al funcției −3x + 8 se află sub graficul albastru al funcției 2x − 7 ori de câte ori x > 3.

Variabila la numitor

Inecuația de gradul întâi care conține fracții cu variabila la numitor se rezolvă într-un mod ceva mai complicat. Un exemplu poate fi inecuația:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

Inecuația nu o putem înmulți cu necunoscuta de la numitor, pentru că nu îi cunoaștem semnul. Dacă valoarea variabilei ar fi negativă, ar trebui să schimbăm sensul inegalității. De aceea nu ne putem permite să înmulțim pur și simplu inecuația cu variabila de la numitor. Nu ar fi o transformare echivalentă a inecuațiilor.

Începem să transformăm inecuația astfel încât să obținem o singură fracție în membrul stâng și zero în membrul drept. Adunăm deci mai întâi la inecuație −4 și obținem forma:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Acum trebuie să aducem expresia din membrul stâng la o singură fracție. Înmulțim deci numărul −1 cu fracția $\frac{x}{x}$, aducând astfel ambii termeni la numitor comun, iar apoi doar adunăm fracțiile:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Acum stăm în fața întrebării – când este o fracție pozitivă? O fracție este pozitivă dacă numărătorul și numitorul sunt amândouă pozitive sau dacă numărătorul și numitorul sunt amândouă negative. Dacă unul dintre ele este pozitiv și celălalt negativ, fracția este negativă. Dacă avem, de exemplu, fracția $\frac{4}{3}$, întreaga fracție reprezintă un număr pozitiv. Dacă avem fracția $\frac{-3}{4}$, fracția reprezintă un număr negativ. Fracția $\frac{-3}{-4}$ reprezintă din nou un număr pozitiv, pentru că minusurile se reduc. În general putem scrie:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{pozitiv}}{\text{pozitiv}}& =& \text{pozitiv}\\ \frac{\text{pozitiv}}{\text{negativ}}& =& \text{negativ}\\ \frac{\text{negativ}}{\text{pozitiv}}& =& \text{negativ}\\ \frac{\text{negativ}}{\text{negativ}}& =& \text{pozitiv}\end{array}$$

Va trebui deci să rezolvăm două sisteme de inecuații. Începem prin a afla când sunt numărătorul și numitorul pozitive:

1. Pentru ca numărătorul și numitorul să fie pozitive, trebuie să fie adevărate simultan ambele inecuații:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   La prima inecuație doar mutăm 2 în celălalt membru și înmulțim cu −1:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   Avem soluția primei inecuații. La a doua inecuație, x > 0, nu mai e nimic de rezolvat. Acum trebuie să facem intersecția acestor soluții, pentru că ne interesează cazurile în care sunt valabile ambele soluții simultan, adică numărătorul este pozitiv și în același timp numitorul este pozitiv. Prima soluție o putem scrie ca interval (−∞,2), a doua soluție o putem scrie ca interval (0,+∞). Acum facem intersecția acestor intervale:

   $$(-\mathrm{\infty },2)\cap (0,+\mathrm{\infty })=(0,2)$$

   Aceasta este o parte a soluției inecuației. Dacă înlocuiești numere din acest interval, inecuația va fi adevărată. De exemplu, dacă în loc de x punem x = 1, care este un număr din intervalul (0, 2), obținem inecuația $\frac{2}{1}+3>4$, adică 5 > 4. Acum rămâne să analizăm cazul în care numărătorul și numitorul sunt negative.

2. În cazul în care numărătorul și numitorul trebuie să fie negative, rezolvăm inecuațiile:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Rezolvăm din nou rapid inecuația 2 − x < 0:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   A doua soluție este din nou pur și simplu x < 0. Le scriem ca intervale: (2,+∞) și (−∞, 0) și facem intersecția:

   $$(2,+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },0)=\varnothing$$

   Ne-a ieșit mulțimea vidă. Ce înseamnă asta? Că fracția $\frac{2-x}{x}$ nu poate avea niciodată numărătorul negativ și în același timp numitorul negativ.

Cele două rezultate anterioare doar le reunim și obținem mulțimea soluțiilor S:

$$S=(0,2)\cup \varnothing =(0,2)$$

Inecuația $\frac{2}{x}+3>4$ are soluții pentru toți x din intervalul (0, 2). Putem desena un grafic în care reprezentăm funcțiile $f(x)=\frac{2}{x}+3$ și g(x) = 4:

Vedem că graficul roșu al funcției $f(x)=\frac{2}{x}+3$ se află deasupra graficului albastru al funcției g(x) = 4 exact în intervalul (0, 2).

Inecuația de gradul întâi cu modul

Ceva mai multă distracție avem cu inecuațiile care conțin modul. Trebuie să calculezi separat când expresia din modul este pozitivă și deci semnul nu se schimbă, și când expresia este negativă și semnul se schimbă – practic apar două inecuații într-una. Iată deci un exemplu simplu:

$$|x+5|<12$$

Mai întâi trebuie să determinăm valoarea care anulează expresia, adică numărul pentru care, după înlocuire, întreaga expresie din modul devine egală cu zero și care servește la determinarea intervalelor în care semnul se schimbă și a celor în care nu. Rezolvăm deci mai întâi ecuația

$$x+5=0$$

Vedem că rezultatul este x = −5. Acest rezultat împarte valorile lui x în două intervale. Într-unul, funcția x + 5 va lua valori pozitive, iar în celălalt negative. Astfel, în intervalul (−∞, −5) obținem numere negative, iar în intervalul [−5, +∞) numere pozitive, respectiv nenegative. Ca exemplu, pe primul rând este un număr din primul interval, pe al doilea din al doilea:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Ce ne spune asta? Că dacă înlocuim pe x cu o valoare mai mare decât minus cinci, atunci modulul nu ne schimbă rezultatul, pentru că x + 5 va fi un număr pozitiv. Invers, dacă valoarea lui x este mai mică decât minus cinci, atunci rezultatul x + 5 va fi negativ, iar modulul îl transformă în pozitiv. De aceea trebuie să distingem în inecuație aceste două cazuri.

Mai întâi calculăm rezultatul în cazul în care luăm x din intervalul [−5, +∞). În acest moment semnul nu se schimbă, pentru că doar eliminăm modulul.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & (-\mathrm{\infty },7)\end{array}$$

Avem aproape prima soluție. Mai trebuie să facem intersecția cu intervalul din care luăm acum pe x. Ne mișcăm în intervalul [−5, +∞), deci rezultatul acestei inecuații nu poate fi, de exemplu, x = −15, pentru că nu aparține intervalului nostru. Trebuie deci să facem intersecția:

$$[-5,+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },7)=[-5,7)$$

Acesta este primul rezultat. Acum trebuie să calculăm rezultatul în cazul în care luăm x din intervalul (−∞, −5). În acest interval modulul ne schimbă semnul. Dacă vrem să eliminăm modulul din inecuație, trebuie să facem singuri schimbarea de semn, adică înmulțim expresia de sub modul cu numărul −1, schimbându-i astfel semnul. O rescriem deci astfel:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Adunăm la inecuație 5:

$$-x<17$$

Și înmulțim cu −1:

$$x>-17$$

Obținem astfel rezultatul:

$$x\in (-17,+\mathrm{\infty })$$

Dar, ca mai înainte, valoarea lui x o alegem din intervalul (−∞, −5), deci trebuie să facem încă intersecția acestui interval cu rezultatul nostru:

$$(-17,+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },-5)=(-17,-5)$$

Acum avem ambele rezultate, pe care doar le reunim:

$$x\in [-5,7)\cup (-17,-5)=(-17,7)$$

Pentru verificare ne putem uita la graficele acestor funcții:

Încă câteva cuvinte despre când să folosim interval închis și când interval deschis. Dacă avem inegalitate strictă, adică x>0, folosim interval deschis, pentru că x nu poate fi egal cu zero. Dacă nu avem inegalitate strictă, x ≥ 0, folosim interval închis, pentru că x poate fi egal cu zero. De exemplu, dacă în inecuația pe care tocmai am rezolvat-o înlocuiești x = 7, care „la limită” nu este cuprins în soluția inecuației, obții:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

Inecuația nu este adevărată, 12 nu este mai mic decât 12.