Ví dụ mở đầu về đạo hàm

Trong bài này, trước hết ta nêu một số công thức hữu ích khi tính đạo hàm, sau đó thử tính đạo hàm của một số hàm số, cả đơn giản lẫn phức tạp. Nếu bạn không tìm ví dụ có lời giải mà cần giải thích định nghĩa đạo hàm, hãy chuyển sang bài đạo hàm của hàm số.

Đạo hàm của đa thức

Trước hết ta nêu một vài công thức cần dùng khi tính đạo hàm của các hàm số có dạng đa thức. Ở vế trái là hàm số sơ cấp cần lấy đạo hàm, ở vế phải là kết quả sau khi lấy đạo hàm. Để rõ ràng: c là hằng số (nên ngay dòng đầu tiên là hàm hằng) và ta lấy đạo hàm theo x.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c\cdot x^{c-1}\end{array}$$

Vài ví dụ cụ thể:

$$f(x)=5$$

Đây là hàm hằng, ta áp dụng công thức thứ nhất và được:

$$f^{\prime }(x)=0.$$

Hàm số bậc nhất f(x) = x theo công thức thứ hai có đạo hàm

$$f^{\prime }(x)=1,$$

ở đây không có gì để bàn thêm. Vì vậy ta thử tính đạo hàm của hàm số

$$f(x)=x^5.$$

Áp dụng công thức cuối, với c là số mũ, tức là c = 5.

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

Công thức này cũng đúng với số mũ âm, nên nếu muốn tính đạo hàm của hàm số

$$f(x)=x^{-7},$$

ta được:

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

Để đi tiếp, ta cần các công thức đạo hàm của tổng và tích các hàm số. Còn nếu muốn từ đạo hàm tìm lại hàm số ban đầu, ta dùng nguyên hàm.

Đạo hàm của tổng

Muốn tính đạo hàm của một hàm số là tổng của mấy biểu thức, ta chỉ cần tính đạo hàm của từng số hạng rồi cộng các kết quả lại. Ta viết như sau:

$$(f_1(x)+f_2(x){)}^{\prime }=f_1^{\prime }(x)+f_2^{\prime }(x)$$

Ví dụ đơn giản, cho hàm số f(x) = x + 5. Đạo hàm của hàm số này là:

$$f^{\prime }(x)=x^{\prime }+5^{\prime }=1+0=1.$$

Ta đã tách hàm số thành hai hàm số như sau:

$$\begin{array}{rcl}{f}_1(x)& =& x\\ f_2(x)& =& 5\end{array}$$

rồi chỉ việc thay vào công thức. Tức là ta tính đạo hàm của các hàm số f₁ và f₂ rồi cộng các kết quả. Với phép trừ cũng hoàn toàn như vậy. Ví dụ phức tạp hơn:

$$f(x)=x^3+x-8$$

Một lần nữa ta chỉ lấy đạo hàm từng số hạng trong ba số hạng và giữ nguyên tổng:

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }+x^{\prime }-8^{\prime }=3x^2+1+0$$

Đạo hàm của tích

Đáng tiếc là tích không đơn giản như tổng; với tích của hai hàm số ta phải dùng một công thức phức tạp hơn một chút:

$$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$$

Một hàm số đơn giản có chứa phép nhân là, chẳng hạn,

$$s(x)=5\cdot x^2$$

Trong công thức đạo hàm của tích có hai hàm số; từ hàm số s(x) ta lấy chúng như sau: f(x) = 5 và g(x) = x². Giờ chỉ việc thay vào:

$$s^{\prime }(x)=5^{\prime }\cdot x^2+5\cdot (x^2{)}^{\prime }=0\cdot x^2+5\cdot 2x=10x$$

Ta thấy nếu hàm số có dạng

$$f(x)=a\cdot x^c,$$

thì sau khi lấy đạo hàm ta được

$$(a\cdot x^c{)}^{\prime }=a\cdot (x^c{)}^{\prime }=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Quy tắc này còn có thể tổng quát hoá: thay cho đơn thức có thể là một hàm số bất kì. Vậy với mọi hàm số f(x) ta có

$$(a\cdot f(x){)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x).$$

Làm ví dụ, ta thử tính đạo hàm của hàm số sau:

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

Đầu tiên ta áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng:

$$f^{\prime }(x)=(5x^3{)}^{\prime }-(7x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Ta viết lại các tích theo công thức vừa nêu:

$$=5(x^3{)}^{\prime }-7(x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Lấy đạo hàm các biểu thức trong ngoặc theo quy tắc đạo hàm của x^c.

$$=5\cdot 3x^2-7\cdot 2x+0=$$

Và cuối cùng chỉ việc nhân các hệ số:

$$=15x^2-14x.$$

Đạo hàm của thương

Đạo hàm của thương lại phức tạp hơn đạo hàm của tích một chút. Công thức:

$${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$$

Ngoài ra, cách làm tương tự như với tích. Ta làm ngay một ví dụ:

$${\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)}^{\prime }=$$

Tử của phân thức là hàm số f(x), mẫu là hàm số g(x). Giờ chỉ việc thay vào công thức:

$$=\frac{(x^2+3x+1{)}^{\prime }(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1{)}^2}=$$

Ở mẫu ta có bình phương của mẫu ban đầu, còn ở tử là biểu thức viết theo công thức. Bây giờ ta lấy đạo hàm biểu thức trong ngoặc thứ nhất và ngoặc cuối cùng. Ở đây lại dùng quy tắc đạo hàm của tổng; tôi bỏ qua bước này và viết luôn kết quả:

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1{)}^2}=\dots$$

Biểu thức này còn có thể rút gọn, nhưng điều đó không quan trọng trong mục này.

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

Bây giờ ta nêu, không chứng minh, công thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp.

Hàm số mũ và hàm số lôgarit:

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln a};a>0\wedge a\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Chú ý rằng đạo hàm của hàm số e^x lại chính là e^x. Đó không phải lỗi in, mà là một tính chất dễ thương, đã trở thành chủ đề của rất nhiều chuyện cười.

Hàm số lượng giác:

$$\begin{array}{rcl}(\sin x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\sin x\\ (\tan x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\cot x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\sin }^{2}x}\end{array}$$

Một ví dụ đơn giản:

$$(3\sin x+2\ln x{)}^{\prime }=$$

Hai biểu thức được cộng với nhau, nên chỉ cần cộng đạo hàm của chúng. Mỗi biểu thức có một hằng số nhân với hàm số phía sau; ta biết rằng khi đó chỉ cần lấy đạo hàm của hàm số và giữ nguyên hằng số. Ta làm như vậy:

$$=3(\sin x{)}^{\prime }+2(\ln x{)}^{\prime }=$$

Đây đã là các đạo hàm trong bảng:

$$=3\cos x+2\frac{1}{x}=3\cos x+\frac{2}{x}.$$

Đạo hàm của hàm số hợp

Từ các tính chất của đạo hàm và từ ứng dụng của nó khi khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta biết rằng trong một số điều kiện, hợp của hai hàm số có đạo hàm lại là một hàm số có đạo hàm. Ta sẽ xem cách tính đạo hàm của hàm số hợp như vậy.

Đạo hàm của hàm số hợp có lẽ là phần khó nhất trong các đạo hàm cơ bản này. Các hàm số có thể hợp với nhau. Hàm số hợp là gì, bạn có thể đọc kĩ hơn trong các bài Hàm số là gì hoặc Tập xác định của hàm số. Nói đại khái, ta đưa một hàm số vào làm đối số của một hàm số khác. Viết bằng kí hiệu: h(g(x)). Một hàm số cụ thể có thể là

$$f(x)=\sin (2x).$$

Ở đây có hai hàm số nào? Sin và hàm trong 2x. Với hàm số f này, ta không thể cứ thế áp dụng công thức chung cho sin(x), vì công thức đó giả thiết đối số là x chứ không phải 2x. Đạo hàm của hàm số hợp được tính như sau:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Tức là ta lấy đạo hàm của hàm ngoài, giữ nguyên đối số của nó, rồi nhân với đạo hàm của hàm trong. Với ví dụ về sin ở trên:

$$(\sin (2x){)}^{\prime }={\sin }^{\prime }(2x)\cdot (2x{)}^{\prime }=$$

Dấu phẩy chỉ đặt trên chữ sin nghĩa là ta chỉ lấy đạo hàm của riêng hàm sin, không lấy đạo hàm của cả biểu thức như ở vế trái. Đạo hàm của sin là côsin, nên ta chỉ việc thay sin bằng côsin. Còn đạo hàm của 2x là 2:

$$=\cos (2x)\cdot 2=2\cos (2x).$$

Một ví dụ nữa, phức tạp hơn một chút.

$$(\cos (\ln x^2){)}^{\prime }=$$

Ở đây có thêm một hàm trong nữa. Hàm ngoài cùng là côsin, ở giữa là lôgarit, còn trong cùng là luỹ thừa x². Nhưng ta vẫn làm theo công thức. Viết ra:

$$={\cos }^{\prime }(\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Ta chỉ lấy đạo hàm của côsin, giữ nguyên đối số của côsin, tức là giữ nguyên cả biểu thức lôgarit. Sau đó nhân cả biểu thức này với đạo hàm của đối số, tức là đạo hàm của lôgarit. Lấy đạo hàm của côsin, ta có:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Biểu thức bên phải không đổi, ta mới chỉ lấy đạo hàm của côsin. Bây giờ đến đạo hàm của lôgarit. Đây lại là hàm số hợp, nên ta áp dụng lặp lại công thức đạo hàm của hàm số hợp. Biểu thức bên trái chỉ việc chép lại:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot {\ln }^{\prime }{x}^2\cdot (x^2{)}^{\prime }=$$

Ta lấy đạo hàm của lôgarit và giữ nguyên đối số x² của nó. Nhưng cả biểu thức còn phải nhân với đạo hàm của đối số, tức là đạo hàm của x². Đạo hàm của lôgarit là phân thức 1/x, trong đó thay x bằng đối số x² của ta, còn đạo hàm của x² là 2x.

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{1}{x^2}2x=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{2}{x}=-\frac{2\sin (\ln x^2)}{x}.$$