Ví dụ nâng cao về đạo hàm

Một vài ví dụ về đạo hàm phức tạp hơn so với việc chỉ áp dụng công thức cơ bản. Nếu cần giải thích định nghĩa đạo hàm, hãy chuyển sang bài đạo hàm của hàm số.

Ví dụ 1

Ta bắt đầu với một bài chưa quá khó.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Từ các công thức đạo hàm ta biết đạo hàm của hàm số e^x lại là e^x. Tiếc là trong ví dụ này không thể dùng trực tiếp điều đó, vì ở số mũ không phải là x mà là −x, nên ta phải xem hàm số này là hàm số hợp. Nhưng ở bước đầu tiên, ta vẫn phải tách theo công thức đạo hàm của tích.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Đa thức bên trái ta lấy đạo hàm theo công thức quen thuộc, phần còn lại giữ nguyên:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Bây giờ ta phải lấy đạo hàm của hàm số cuối cùng. Như đã nói, đó là hàm số hợp, nên ta lấy đạo hàm theo quy tắc đạo hàm của hàm số hợp:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Vậy đạo hàm của hàm số này là:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

Biểu thức e^−x giữ nguyên, vì đạo hàm của e^x lại là e^x, và ở bước đầu của công thức ta lấy đạo hàm của hàm ngoài, còn hàm trong giữ nguyên. Ở bước thứ hai, ta nhân kết quả trung gian với đạo hàm của hàm trong, tức là hàm số −x. Đạo hàm của hàm số −x là −1. Giờ chỉ việc thay kết quả vào biểu thức trước:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Ví dụ 2

Đề bài của ví dụ thứ hai:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\tan x}$$

Ở đây ta có một phân thức, tử là một hàm số và mẫu là một hàm số khác. Vì vậy ở bước đầu ta lấy đạo hàm theo công thức đạo hàm của thương. Áp dụng công thức, ta được:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot (\tan x{)}^{\prime }}{{\tan }^{2}x}$$

Ta làm từ cuối lên: trước hết lấy đạo hàm của tang, vì có thể làm ngay theo công thức cơ bản. Ta có

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

Áp dụng công thức này ở tử, ta được

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}$$

Bây giờ cần lấy đạo hàm của lôgarit. Tiếc là bên trong lôgarit còn một hàm số nữa, nên đây là hàm số hợp và ta phải lấy đạo hàm theo quy tắc của hàm số hợp. Đạo hàm của lôgarit là 1/x, nhưng thay x bằng biểu thức bên trong lôgarit, tức là côsin. Sau đó còn phải nhân với đạo hàm của biểu thức bên trong, tức là đạo hàm của côsin. Vậy đạo hàm của lôgarit là:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Ta được một phân thức khá gọn. Nếu nhớ lượng giác, bạn biết phân thức này bằng tang. Vậy cả biểu thức bằng số đối của tang:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\tan x$$

Thay vào kết quả trước:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=\frac{-\tan x\cdot \tan x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Ở tử có hai lần tang, nên có thể viết thành bình phương. Lôgarit có thể chuyển lên tử của phân thức đứng sau.

$$=\frac{-{\tan }^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Bây giờ có thể tách tử và được hai phân thức

$$=-\frac{{\tan }^{2}x}{{\tan }^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\tan }^{2}x}=$$

Ở phân thức thứ nhất tử bằng mẫu, nên ta được 1. Ở phân thức thứ hai, ta khử phân thức ở tử bằng cách nhân cả tử và mẫu với cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\tan }^{2}x}=$$

Bây giờ có thể viết tang thành thương sin(x)/cos(x). Vì tang được bình phương nên cả tử và mẫu của thương này cũng được bình phương. Sau đó ta rút gọn ngay cos²x.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

Đó là kết quả cuối cùng của đạo hàm.

Ví dụ 3

Tính đạo hàm của hàm số

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Nếu chưa nhìn rõ: tất cả đều là số mũ, tức là “x mũ (x mũ một phần hai)”. Ở bước đầu tiên, ta biến đổi theo công thức:

$$x=e^{\ln x}$$

Dùng công thức này, ta viết lại chữ x đầu tiên trong bài:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Bây giờ áp dụng công thức về luỹ thừa:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Ta bỏ ngoặc và nhân số mũ trên cùng với lôgarit:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Bây giờ hàm số đã có dạng dễ lấy đạo hàm hơn. Đây là hàm số hợp, nên ta lấy đạo hàm theo quy tắc đạo hàm của hàm số hợp. Hàm thứ nhất là e^x, trong đó thay x bằng cả số mũ, còn hàm thứ hai nằm ở số mũ. Tách ra, ta được:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

Biểu thức trong ngoặc là một tích, nên ta áp dụng công thức đạo hàm của tích.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Đạo hàm của lôgarit là 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Bây giờ lấy đạo hàm của biểu thức thứ hai theo công thức quen thuộc cho hàm số luỹ thừa. Ta có:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Thay kết quả này vào phép tính:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Có thể biến đổi thêm tích thứ nhất, cũng nhờ các công thức về luỹ thừa:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Viết lại biểu thức trước bằng kết quả vừa tính:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Cuối cùng đưa lôgarit lên tử của phân thức:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với 2, rồi cộng hai phân thức:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Bây giờ có thể quay lại toàn bộ đạo hàm:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Thay ngược e^{ln x} bằng x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Đó là kết quả cuối cùng.