Đạo hàm của hàm số

Đạo hàm là khái niệm cơ bản của phép tính vi phân. Nó có vai trò quan trọng, chẳng hạn khi khảo sát sự biến thiên của hàm số. Một mặt, học sinh, sinh viên rất ghét nó; mặt khác, tính đạo hàm thì đến một chú khỉ được huấn luyện kĩ cũng làm được. Bài này chỉ trình bày và giải thích định nghĩa đạo hàm cùng các khái niệm liên quan. Các ví dụ có lời giải nằm ở những bài bên cạnh: ví dụ đơn giản về đạo hàm và ví dụ khó hơn. Quá trình ngược với tính đạo hàm là tìm nguyên hàm.

Đạo hàm là gì

Trước khi đến với định nghĩa, ta xem đạo hàm cho ta tính được gì và điều đó có ích ra sao.

Đạo hàm của hàm số cho ta hệ số góc của tiếp tuyến. Nghe toàn thuật ngữ khó, nên ta đi từ đầu. Nói đơn giản, tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với đồ thị tại đúng một điểm. Đây không phải định nghĩa chính xác (định nghĩa chính xác có thể đọc, chẳng hạn, trên Wikipedia), nhưng tạm đủ dùng. Bây giờ hãy xem hình sau:

Đường cong màu đen là đồ thị hàm số y = x². Đường thẳng màu xanh dương là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm D(1; 1), được đánh dấu màu đỏ. Màu xanh lá đánh dấu góc α tạo bởi tiếp tuyến và trục hoành, chính xác hơn là với chiều dương của trục Ox. Bây giờ ta định nghĩa hệ số góc của tiếp tuyến. Trên hình này, hệ số góc của tiếp tuyến là tang của góc alpha. Tang là một hàm số lượng giác quen thuộc, nhờ nó ta có thể tính góc và độ dài các cạnh trong tam giác. Như vậy, hệ số góc của tiếp tuyến là tang của góc mà tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox. Và hệ số góc này ta tính được chính nhờ đạo hàm.

Ta còn phân biệt đạo hàm tại một điểm và đạo hàm của hàm số. Đạo hàm tại một điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó. Còn đạo hàm của hàm số là một hàm số khác, cho biết hệ số góc ứng với mỗi giá trị x. Ví dụ ở phần sau.

Vì sao cần đạo hàm

Như vậy, nhờ đạo hàm ta tính được hệ số góc của tiếp tuyến. Điều đó có ích gì? Hãy xem hình sau:

Trên hình lại là hàm số y = x² với bốn tiếp tuyến được đánh dấu: hai tiếp tuyến màu xanh lá và hai tiếp tuyến màu xanh dương. Chú ý rằng hàm số y = x² nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞). Vậy các tiếp tuyến, hay đúng hơn là góc chúng tạo với chiều dương của trục hoành, có đặc điểm gì? Các tiếp tuyến màu xanh dương, tức là tiếp tuyến tại các điểm thuộc khoảng mà hàm số đồng biến, tạo với trục hoành góc nhỏ hơn 90°. Còn các tiếp tuyến màu xanh lá tạo với trục hoành góc lớn hơn 90°. Điều này thể hiện thế nào ở hệ số góc của tiếp tuyến?

Muốn trả lời, ta cần biết dáng điệu của hàm số tang. Từ đồ thị sau ta thấy nếu góc nhỏ hơn 90° thì tang của nó dương (phần tô màu xanh dương); ngược lại, nếu góc lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180° (tức là nhỏ hơn π radian) thì tang của nó âm. Ta rút ra kết luận gì? Nếu hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm (đừng quên rằng hệ số góc chính là tang của góc) dương thì hàm số đồng biến tại điểm đó, nếu âm thì hàm số nghịch biến tại đó.

Định nghĩa

Trước khi đến được định nghĩa đạo hàm, ta phải đi một chặng đường dài. Và ta sẽ cần đến giới hạn của hàm số. Nếu chưa nắm vững giới hạn, hãy quay lại ôn hoặc chỉ cần xem qua các công thức, vì phần trình bày tiếp theo có lẽ không dành cho bạn.

Trước khi đến hệ số góc của tiếp tuyến, ta dừng lại ở hệ số góc của cát tuyến, việc này đơn giản hơn. Cát tuyến là đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm. Ta thử xây dựng cách tính hệ số góc này. Hãy xem hình:

Trên hình có đồ thị hàm số x² + 1 và cát tuyến s cắt đồ thị tại hai điểm (0,5; 1,25) và (2; 5). Hai điểm này được tô màu xanh dương. Vì ta không quá quan tâm đến các giá trị cụ thể, trên đồ thị chúng được kí hiệu tổng quát là a và b, f(a) và f(b). Ở đây f(a) là giá trị của hàm số f tại x = a. Quả vậy: giá trị của hàm số x² + 1 tại x = 2 bằng 2² + 1 = 5.

Bây giờ ta cần tìm cách tính góc kí hiệu là alpha, tức là góc mà cát tuyến tạo với trục hoành. Trước hết ta sửa hình một chút để có một tam giác, như vậy dễ làm việc hơn.

Ta đã làm gì? Ta nối các giao điểm của cát tuyến với đồ thị hàm số y = x² + 1 và vẽ thêm để được tam giác vuông ABC. Điều đó giúp gì? Góc kí hiệu β có cùng số đo với góc α (đó là hai góc đồng vị). Mặt khác ta biết độ dài các cạnh AB và BC: AB = b − a (đơn giản là khoảng cách từ điểm b đến điểm a). Tương tự, độ dài BC = f(b) − f(a). Vậy bây giờ tính số đo góc β, hay góc α, thế nào?

Ta cần nhớ cách tính tang. Tang bằng tỉ số giữa cạnh góc vuông đối và cạnh góc vuông kề, tức là tang của góc alpha (beta) bằng tỉ số độ dài cạnh BC và độ dài cạnh AB. Ta viết:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{BC}{AB}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Vì hệ số góc là tang của góc nên công thức này cho ta hệ số góc của cát tuyến. Nhưng điều đó giúp gì khi ta muốn tính hệ số góc của tiếp tuyến? Hãy hình dung ta cho hai điểm A và C tiến lại gần nhau cho đến khi chúng trùng nhau. Hình sau minh hoạ việc tiến lại gần:

Càng đưa giao điểm phía trên lại gần giao điểm phía dưới, cát tuyến càng gần trở thành tiếp tuyến. Cát tuyến ban đầu CA còn khác xa tiếp tuyến. Khi đưa điểm C lại gần điểm A, ta được chẳng hạn cát tuyến C₁A, đã giống tiếp tuyến hơn. Cát tuyến C₂A còn giống hơn nữa, v.v.

Khi nào cát tuyến trở thành tiếp tuyến? Khi hai giao điểm trùng làm một, tức là khi với một điểm C_n nào đó ta có C_n = A. Lúc đó cát tuyến trở thành tiếp tuyến, đúng như ta muốn. Vấn đề là tính hệ số góc thế nào, vì ta không thể đơn giản trừ hai điểm này cho nhau khi chúng trùng nhau:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Cách này không được, ta không thể tính như vậy. Không phải ngẫu nhiên mà ta chỉ cho hai điểm tiến lại gần nhau. Ta sẽ cần đến giới hạn. Ta muốn tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (a; f(a)) và ta có hệ số góc của mọi cát tuyến có thể (những hệ số góc này ta đã biết cách tính). Vì vậy ta lần lượt tính hệ số góc của các cát tuyến, đưa chúng tiến dần đến tiếp tuyến. Tức là ta cho b tiến dần đến a. Ta không thể đưa hai điểm lại gần đến mức chúng bằng nhau, nhưng có thể đưa chúng lại gần sao cho hiệu của chúng dần tới 0. Đó chính là giới hạn. Vậy ta cho b dần tới a, tức là tính giới hạn khi b dần tới a. Thế là xong, công thức như sau:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Giới hạn này gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x = a. Xin nhắc lại, góc α bằng góc β. Thông thường ta không dùng các biến a và b, mà tìm đạo hàm tại điểm x₀ và cho điểm x tiến lại gần. Khi đó có thể viết:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Cũng như với tính liên tục của hàm số, đến đây ta mới định nghĩa đạo hàm tại một điểm. Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng I thì các giá trị của đạo hàm xác định một hàm số f′(x), gọi là đạo hàm của hàm số.

Đạo hàm được kí hiệu bằng dấu phẩy trên, đại khái như sau:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

Bạn cũng có thể gặp cách viết khác, dùng dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

Vậy trong công thức vừa dùng, ta có thể thay tang bằng kí hiệu đạo hàm:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Ta cũng có thể định nghĩa đạo hàm một bên (bên phải hoặc bên trái) bằng giới hạn một bên. Ở đây ta không đi sâu vào điều đó, vì nó không quá quan trọng.

Một định nghĩa hơi khác

Một định nghĩa khác của đạo hàm tại một điểm như sau:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Làm sao đi đến định nghĩa này? Chỉ cần sửa một chút hình vẽ ban đầu. Ta có thể biểu diễn khoảng cách từ điểm a đến điểm b là h = b − a. Khi đó điểm b có thể viết là a + h, vì h chính là khoảng cách từ b đến a. Hình vẽ sẽ như sau:

Ở dưới có các điểm a và a + h, trên trục tung là f(a) và f(a + h). Một lần nữa ta dựng tam giác và tính tang của góc beta. Chỉ khác là độ dài cạnh AB đã có sẵn, đó chính là h.

Đạo hàm hữu hạn và đạo hàm vô cực

Cũng như giới hạn của hàm số, đạo hàm có thể hữu hạn hoặc vô cực. Điều đó nghĩa là gì? Đạo hàm là hữu hạn nếu giá trị của đạo hàm tại điểm đó bằng một số thực. Đạo hàm là vô cực nếu nó bằng dương hoặc âm vô cực. Hình dung điều đó về mặt hình học thế nào? Khi nào hệ số góc “bằng vô cực”? Ta bắt đầu với câu hỏi dễ hơn: tiếp tuyến có hệ số góc bằng một số rất lớn trông như thế nào? Từ đồ thị hàm số tang (xem ở trên) ta thấy nếu tang rất lớn thì góc gần 90° (nếu ta xét góc trong khoảng (0; 180) độ).

Từ đó có thể đoán rằng nếu hàm số có đạo hàm vô cực tại một điểm thì tiếp tuyến tại đó tạo với trục hoành một góc vuông, tức là vuông góc với trục hoành. Và đúng là như vậy. Đồ thị của hàm số như vậy có thể trông thế nào, và tại điểm nào tiếp tuyến vuông góc với trục hoành? Chẳng hạn hàm số $y=\sqrt[3]{x}$:

Các tính chất cơ bản

• Muốn có đạo hàm tại một điểm, hàm số phải xác định trên một lân cận epsilon nào đó của điểm này. Nếu không có lân cận như vậy thì ta không tính được giới hạn dùng để định nghĩa đạo hàm.

• Vì giới hạn (nếu tồn tại) là duy nhất nên nếu đạo hàm tại một điểm tồn tại thì nó là duy nhất. Không hàm số nào có nhiều hơn một đạo hàm tại cùng một điểm: hoặc có một, hoặc không có.

• Tương tự như với giới hạn một bên, nếu hàm số có đạo hàm tại một điểm thì đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại đó phải bằng nhau.

• Đôi khi ta cần đến đạo hàm cấp hai. Không có gì phức tạp: ta lấy đạo hàm của hàm số một lần, rồi lấy đạo hàm của kết quả thêm lần nữa. Kí hiệu bằng hai dấu phẩy: f''(x) = (f'(x))'.

• Tính chất quan trọng: nếu hàm số có đạo hàm tại một điểm thì hàm số liên tục tại điểm đó. Điều này cũng suy ra từ tính chất của giới hạn. Chú ý rằng điều ngược lại không đúng. Hàm số liên tục tại một điểm không có nghĩa là có đạo hàm tại đó. Ví dụ điển hình là hàm số f(x) = |x|. Đồ thị có một điểm nhọn, và tại điểm nhọn này không tính được hệ số góc của tiếp tuyến. Bạn có thể thử tính đạo hàm bên trái và bên phải, chúng sẽ khác nhau.

  

• Đạo hàm còn giúp tính một số giới hạn, nhờ quy tắc L'Hôpital.

Liên kết

Ở bài bên cạnh có danh sách các công thức đạo hàm. Một số công thức khác có thể tìm trên Wikipedia.

Bạn cũng có thể xem các ví dụ có lời giải về đạo hàm và sau đó các ví dụ khó hơn.

Nếu cần kiểm tra nhanh kết quả tính đạo hàm, bạn có thể dùng một công cụ toán học, chẳng hạn Wolfram|Alpha. Chỉ cần gõ vào ô nhập liệu ở đó, chẳng hạn, “derive x^2+6x” và Wolfram sẽ tính đạo hàm của hàm số đã cho.