Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số là một trong những khái niệm quan trọng nhất của giải tích toán học. Nó mô tả dáng điệu của một hàm số trong lân cận của một điểm nhất định; nhờ đó ta có thể, chẳng hạn, định nghĩa tính liên tục của hàm số. Giới hạn của hàm số còn giúp ta hiểu dáng điệu của hàm số ngay cả tại những điểm mà hàm số hoàn toàn không xác định.

Lân cận của một điểm

Ta bắt đầu bằng định nghĩa lân cận epsilon của một điểm trên tập số thực. Cho r ∈ ℝ. Với ϵ > 0, lân cận epsilon của điểm này là khoảng (r − ϵ; r + ϵ). Lân cận thủng epsilon cũng như vậy, chỉ không chứa điểm r. Lân cận thủng là (r − ϵ; r) ∪ (r; r + ϵ). Lân cận epsilon của điểm a kí hiệu là U(a, ϵ), còn lân cận thủng kí hiệu là R(a, ϵ).

Ví dụ, lấy số 5 và lân cận bán kính 2 của nó. Ta tính U(5, 2), đó là khoảng (5 − 2; 5 + 2) = (3; 7). Lân cận thủng là R(5, 2) = (3; 5) ∪ (5; 7), tức là cùng lân cận đó nhưng bỏ đi điểm 5. Biểu diễn hình học lân cận bán kính 2 của điểm 5:

Lân cận bán kính 2 của điểm 5

Lân cận thủng bán kính 2 trông cũng vậy, chỉ không chứa điểm 5 màu xanh dương.

Điểm tụ

Tiếp theo ta cần định nghĩa điểm tụ của một tập hợp. Phần tử a ∈ ℝ là điểm tụ của tập M ⊆ ℝ nếu trong mọi lân cận thủng của nó, dù nhỏ đến đâu, đều có ít nhất một điểm thuộc tập M. Chính xác hơn:

$\forall ϵ > 0 : R (a, ϵ) \cap M \neq \emptyset$

Ví dụ: mọi số thực đều là điểm tụ của tập số thực. Chọn số 10, thì trong bất kì lân cận thủng nào của điểm này ta cũng luôn tìm được số thực. Với $ϵ = \frac{1}{100}$ ta có lân cận thủng (9,99; 10) ∪ (10; 10,01). Cả hai khoảng đều chứa số thực, chính xác hơn là chứa vô số số thực. Vậy dù lấy ϵ nhỏ đến đâu, ta luôn được các khoảng chứa vô số số thực.

Nếu chọn M là tập số tự nhiên thì ta không tìm được điểm tụ nào. Chẳng hạn số $\frac{1}{2}$ không phải điểm tụ, vì với $ϵ = \frac{1}{10}$ ta được các khoảng (0,4; 0,5) ∪ (0,5; 0,6), và không khoảng nào chứa số tự nhiên.

Vì sao cần giới hạn

Ta bắt đầu với định nghĩa dễ nhất: giới hạn hữu hạn tại một điểm hữu hạn. Trước hết ta xem rốt cuộc ta muốn tính gì. Hãy xem đồ thị hàm dấu (signum) sau:

Đồ thị hàm số sgn(x)

Lấy điểm x₁ = 3, giá trị của hàm số tại điểm này bằng 1: sgn(3) = 1. Đồng thời, tại mọi điểm “gần” đó hàm số cũng có giá trị 1, chẳng hạn sgn(2,5) = 1 hay sgn(3,5) = 1. Khi tiến đến điểm x₁ = 3 từ bên trái hay bên phải, giá trị của hàm số luôn bằng 1.

Nhưng nếu lấy điểm x₂ = 0 thì sgn(0) = 0, trong khi mọi điểm xung quanh đều có giá trị khác! Chẳng hạn $sgn (- \frac{1}{2}) = - 1$ hay $sgn (\frac{1}{2}) = 1$ . Giá trị của hàm số ở bên phải dần tới 1, còn ở bên trái dần tới −1. Rốt cuộc tại điểm x₂ = 0 ta lại được giá trị 0. Thật bất ngờ! Những giá trị mà hàm số dần tới tại một điểm như vậy được gọi là giới hạn của hàm số tại điểm đó.

Định nghĩa giới hạn hữu hạn tại một điểm

Cho hàm số f và x₀ ∈ ℝ là một điểm tụ của tập xác định D của hàm số f. Ta nói L ∈ ℝ là giới hạn của hàm số f tại điểm x₀ nếu

$(\forall ϵ > 0) (\exists δ > 0) (\forall x \in D) (0 < | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - L | < ϵ) .$

Bây giờ ta xem định nghĩa này có nghĩa là gì. Điểm hữu hạn ở đây có nghĩa là điểm đó là một số thực. Sau này ta sẽ nói về giới hạn tại vô cực. Ta thử tính giới hạn sau:

$lim_{x \to 3} \frac{x}{3} = ? .$

Với những hàm số đơn giản như thế này, giới hạn của hàm số tại điểm x₀ bằng giá trị của hàm số tại điểm đó: f(x₀). Sau này ta sẽ định nghĩa chính xác “hàm số đơn giản” nghĩa là gì. Bây giờ ta vẽ tất cả lên hình:

$Đồ thị hàm số f(x)=\frac{x}{3}$

Đường thẳng màu đen là đồ thị hàm số $f (x) = \frac{x}{3}$ , điểm màu đỏ x₀ là điểm tại đó ta tìm giới hạn, còn điểm màu xanh lá L là giới hạn cần tìm. Chú ý rằng giới hạn được biểu diễn trên trục tung.

Ta tiếp tục theo định nghĩa. Đầu tiên định nghĩa có (∀ϵ > 0), sau đó ϵ được dùng trong |f(x) − L|<ϵ. Đó là cách viết toán học của yêu cầu: mọi f(x) phải cách L một khoảng nhỏ hơn ϵ. Như vậy ta xét lân cận ϵ của điểm L trên trục tung. Theo định nghĩa, ta có thể chọn bất kì ϵ > 0 nào, chẳng hạn $ϵ = \frac{3}{10}$ . Trên trục tung, ta tìm các điểm cách điểm L đúng bằng ϵ:

$Lân cận \epsilon của điểm L được tô đậm$

Mọi điểm trên trục tung nằm giữa hai đường màu xanh lá này đều thuộc lân cận ϵ của điểm L. Đó là những điểm mà định nghĩa nói tới.

Định nghĩa tiếp tục với (∃δ>0), được dùng trong biểu thức 0<|x − x₀|<δ. Ta yêu cầu hiệu x − x₀ phải nhỏ hơn δ. Vì x, x₀ nằm trên trục hoành nên ta cũng biểu diễn δ trên trục hoành. Biểu thức 0<|x − x₀|<δ bảo ta lấy mọi x cách x₀ một khoảng nhỏ hơn δ nhưng lớn hơn 0, tức là x ≠ x₀. Như vậy cách viết này chính là lân cận thủng bán kính δ của điểm x₀. Do đó có thể viết lại định nghĩa giới hạn dưới dạng tương đương bằng lân cận:

$(\forall ϵ > 0) (\exists δ > 0) (\forall x \in D) (x \in R (x_{0}, δ) \Rightarrow f (x) \in U (L, ϵ))$

Quay lại định nghĩa trước và vẽ tiếp hình. Để minh hoạ, ta cần phần tiếp theo của định nghĩa:

$0 < | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - L | < ϵ$

Tức là với mọi x thuộc lân cận thủng bán kính δ của điểm x₀ phải có… một điều kiện nào đó. Ta thêm vào hình lân cận thủng bán kính δ của điểm x₀, chẳng hạn với $δ = \frac{3}{2}$ :

$Lân cận \delta của điểm x_0 được tô đậm$

Mọi x nằm giữa hai đường nét đứt màu đỏ đều thuộc lân cận δ của x₀, trừ chính điểm x₀. Ta xem lại điều kiện trên:

$0 < | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - L | < ϵ$

Với mọi x thuộc lân cận thủng bán kính δ của điểm x₀, mọi giá trị f(x) phải nằm trong lân cận ϵ của điểm L. Vậy ta lấy mọi x thuộc lân cận thủng bán kính δ của điểm x₀ và tính giá trị của hàm số. Các giá trị này được biểu diễn bằng đoạn thẳng màu xanh dương trên hình sau:

$Giá trị của hàm số trên lân cận thủng bán kính \delta của điểm x_0$

Điểm x₀ không thuộc lân cận thủng, vì thế tại đó có một chấm tròn rỗng. Định nghĩa đòi hỏi mọi điểm màu xanh dương này phải nằm trong lân cận ϵ của điểm L. Nói theo màu trên hình: mọi điểm màu xanh dương phải nằm giữa hai đường màu xanh lá biểu diễn lân cận ϵ. Điều đó có đúng không?

Tất nhiên là không: chẳng hạn với $x = \frac{16}{10}$ rõ ràng ta có một điểm màu xanh dương không nằm giữa hai đường màu xanh lá, tức là không thuộc lân cận ϵ của điểm L.

Nhưng điều đó không sao, vì định nghĩa nói rằng với mỗi lân cận ϵ của điểm L phải tồn tại một lân cận δ sao cho… phần còn lại của điều kiện. Nghĩa là chỉ cần tồn tại một lân cận δ như vậy là đủ. $δ = \frac{3}{2}$ rõ ràng không phải lựa chọn tốt, nhưng ta có thể thử δ khác, chẳng hạn $δ = \frac{1}{2}$ . Hình vẽ thay đổi như sau:

$Thay đổi lân cận \delta$

Ta lại kiểm tra xem mọi giá trị của hàm số với mọi x thuộc lân cận thủng bán kính δ của điểm x₀ có nằm trong lân cận ϵ của điểm L không. Nói gọn là mọi điểm màu xanh dương có nằm giữa hai đường màu xanh lá không. Có, lần này thì có, hoan hô!

Điều đó có nghĩa L là giới hạn của hàm số tại điểm x₀ không? Chưa chắc, vì định nghĩa nói (∀ϵ > 0) …. Ta mới kiểm tra định nghĩa với một giá trị ϵ cụ thể, còn lại… vô số giá trị nữa.

Nói cách khác, để thật sự có $lim_{x \to 3} \frac{x}{3} = 1$ , với mỗi lân cận ϵ ta phải tìm được một lân cận δ sao cho điều kiện trên được thoả mãn. Từ hình vẽ ta thấy luôn tìm được lân cận δ như vậy. Chẳng hạn nếu giảm ϵ xuống $ϵ = \frac{1}{10}$ thì có thể giảm δ xuống $δ = \frac{2}{10}$ và điều kiện vẫn được thoả mãn:

$Thay đổi lân cận \epsilon và kéo theo đó là thay đổi lân cận \delta$

Dù lấy ϵ nhỏ đến đâu, ta luôn phải tìm được δ sao cho các giá trị của hàm số nằm trong lân cận ϵ của giới hạn L.

Chứng minh giới hạn hữu hạn tại một điểm

Ta thử chứng minh chặt chẽ giới hạn trên. Từ hình vẽ ta đã biết nhiều khả năng

$lim_{x \to 3} \frac{x}{3} = 1,$

giờ ta thử chứng minh điều đó bằng toán học. Từ hình vẽ có thể đoán rằng nếu luôn lấy δ bằng đúng giá trị của ϵ thì có lẽ sẽ được. Vậy ta đặt δ = ϵ. Khi đó ta cần chứng minh

$L - ϵ < f (x) < L + ϵ, với mọi x \in (x_{0} - δ; x_{0}) \cup (x_{0}; x_{0} + δ)$

Vì đã đặt δ = ϵ, ta thay mọi δ bằng ϵ:

$L - ϵ < f (x) < L + ϵ, với mọi x \in (x_{0} - ϵ; x_{0}) \cup (x_{0}; x_{0} + ϵ)$

Thay L = 1 và x₀ = 3:

$1 - ϵ < f (x) < 1 + ϵ, với mọi x \in (3 - ϵ; 3) \cup (3; 3 + ϵ)$

Bây giờ ta cần chứng minh các bất đẳng thức này. Vì hàm số $\frac{x}{3}$ đồng biến nên chỉ cần kiểm tra hai đầu mút 3 − ϵ và 3 + ϵ. Bắt đầu với 3 − ϵ: thay x = 3 − ϵ vào hàm số $\frac{x}{3}$ và chỉ ra rằng giá trị này luôn thoả mãn các bất đẳng thức 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ:

$\begin{array}{rcl} 1 - ϵ < & f (x) & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & \frac{x}{3} & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & \frac{3 - ϵ}{3} & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & \frac{3}{3} - \frac{ϵ}{3} & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & 1 - \frac{ϵ}{3} & < 1 + ϵ \\ - ϵ < & - \frac{ϵ}{3} & < ϵ \end{array}$

Làm tương tự với 3 + ϵ:

$\begin{array}{rcl} 1 - ϵ < & f (x) & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & \frac{x}{3} & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & \frac{3 + ϵ}{3} & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & \frac{3}{3} + \frac{ϵ}{3} & < 1 + ϵ \\ 1 - ϵ < & 1 + \frac{ϵ}{3} & < 1 + ϵ \\ - ϵ < & \frac{ϵ}{3} & < ϵ \end{array}$

Tính giới hạn sai

Bây giờ ta phác hoạ điều gì xảy ra nếu ta nghĩ rằng giới hạn của hàm số khi x dần tới 3 bằng 0,5. Ta chọn một lân cận epsilon nhỏ nào đó:

Tính giới hạn sai

Lúc này ta không thể tìm được lân cận delta nào của điểm x₀ mà mọi giá trị của hàm số trên đó đều nằm lọt giữa hai đường màu xanh lá. Ta thấy với lân cận δ đã chọn, mọi điểm màu xanh dương đều nằm ngoài hai đường màu xanh lá. Nếu mở rộng lân cận δ thì chỉ làm tăng số điểm màu xanh dương không thể đưa vào giữa hai đường màu xanh lá.

Giới hạn của hàm dấu

Hàm dấu (signum) là một hàm số đẹp nhưng có lẽ sẽ làm bạn rối trí. Đồ thị như sau:

Đồ thị hàm số f(x)=sgn(x)

Đồ thị hàm số f(x)=|sgn(x)|

Câu hỏi là: giới hạn sau bằng bao nhiêu?

$lim_{x \to 0} | sgn (x) | = ?$

Hàm số xác định tại điểm 0 và giá trị tại đó bằng 0. Nhưng điều đó không có nghĩa giới hạn cũng bằng 0. Giới hạn có thể khác giá trị của hàm số tại điểm đó.

Cách duy nhất để chọn giới hạn sao cho định nghĩa được thoả mãn là chọn giới hạn bằng 1. Trực giác cũng giúp ta: khi x dần tới 0 từ bên trái thì giá trị của hàm số dần tới đâu? Nó luôn dần tới 1. Việc cuối cùng nó “nhảy” xuống 0 không ảnh hưởng gì. Tương tự khi x dần tới 0 từ bên phải.

$lim_{x \to 0} | sgn (x) | = 1$

Nếu giữ nguyên hàm số ban đầu f(x) = sgn(x) thì hàm số không có giới hạn tại điểm 0 mà có hai giới hạn một bên khác nhau. Bên trái hàm số dần tới −1, bên phải dần tới +1. Bạn có thể thử chứng minh điều đó theo định nghĩa.

Giới hạn không tồn tại

Ta xem thêm vài ví dụ giới hạn không tồn tại.

Ví dụ đơn giản nhất là tính giới hạn tại một điểm không phải điểm tụ của tập xác định D. Chẳng hạn không tồn tại giới hạn:

$lim_{x \to - 1} \ln x$

Đồ thị:

$Đồ thị hàm số f(x)=\ln(x)$

Hàm số tuần hoàn thường không có giới hạn tại vô cực (nhưng không phải hàm nào cũng vậy!). Ví dụ điển hình là các hàm số lượng giác như sin. Đồ thị như sau:

$Đồ thị hàm số f(x)=\sin(x)$

Giới hạn tại vô cực không tồn tại: giá trị của sin cứ dao động giữa 1 và −1, nên không thể tính giới hạn.

Mục lục: Giới hạn của hàm số, Giới hạn vô cực tại một điểm, Giới hạn hữu hạn tại vô cực, Giới hạn vô cực tại vô cực, Giới hạn một bên, Quy tắc L'Hôpital

« Bài trước: Giới hạn của dãy số

Bài tiếp: Giới hạn vô cực tại một điểm »