Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Với các hàm số, ta có thể xét tính chẵn lẻ, tức là xác định hàm số chẵn hay lẻ. Trong trường hợp đặc biệt, hàm số có thể vừa chẵn vừa lẻ, nhưng thường gặp nhất là hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Hàm số chẵn

Hàm số là chẵn nếu thoả mãn một quy tắc đơn giản: khi đưa vào hàm số phần tử x rồi phần tử đối −x, hàm số phải trả về cùng một giá trị. Hàm số chẵn điển hình là f(x) = x². Gọi nó với các đối số 6 và −6, ta được f(6) = 36 và f(−6) = 36. Hai đối số chỉ khác nhau về dấu, nên kết quả như nhau.

Định nghĩa chặt chẽ có thể viết như sau. Hàm số f là chẵn nếu nó thoả mãn

$$\mathrm{\forall }x\in D:f(x)=f(-x)$$

Với mọi x thuộc tập xác định của hàm số, khi gọi hàm số với đối số đối, tức −x, các giá trị của hàm số phải bằng nhau.

Hàm số chẵn thể hiện thế nào trên đồ thị? Đưa vào hàm số x và −x, ta được cùng một giá trị y. Suy nghĩ một chút: x và −x trên trục hoành cách đều gốc toạ độ và có cùng tung độ. Điều đó nghĩa là đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. Để minh hoạ, đây là đồ thị hàm số x²:

Trong các hàm số quen thuộc, những hàm số chẵn là: côsin, các hàm số dạng f(x) = x^a với a là số chẵn. Từ một hàm số lẻ có thể tạo ra hàm số chẵn nhờ giá trị tuyệt đối, chẳng hạn f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Hàm số lẻ

Hàm số lẻ phải thoả mãn quy tắc tương tự như hàm số chẵn. Hàm số f là lẻ nếu thoả mãn quy tắc:

$$\mathrm{\forall }x\in D:f(-x)=-f(x)$$

Trên thực tế, điều này nghĩa là nếu điểm (a; b) thuộc đồ thị hàm số lẻ thì điểm có các toạ độ đối, tức (−a; −b), cũng phải thuộc đồ thị. Một ví dụ về hàm số lẻ là f(x) = x³. Thay x bằng 2, ta được:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

Với biểu thức thứ hai, ta được

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Điều này thể hiện thế nào trên đồ thị, khi cả điểm (a; b) lẫn điểm (−a; −b) đều thuộc đồ thị? Nếu vẽ ra, ta sẽ thấy đồ thị như vậy đối xứng qua gốc toạ độ, tức điểm (0; 0). Hình sau là đồ thị hàm số f(x) = x³.

Trong các hàm số quen thuộc, những hàm số lẻ là: f(x) = x^a với a lẻ, f(x) = ax với a là số thực bất kì (tức hàm số bậc nhất không có hệ số tự do). Ngoài ra còn f(x) = a/x và hàm số sin.

Kiểm tra hàm số chẵn

Làm sao kiểm tra một hàm số có chẵn hay không? Phải dựa vào định nghĩa. Lấy ví dụ hàm số quen thuộc f(x) = x² và kiểm tra theo định nghĩa. Định nghĩa nói rằng f(x) = f(−x). Nếu hàm số chẵn thì phải có:

$$x^2=(-x{)}^2$$

Theo các quy tắc tính toán với luỹ thừa, bình phương của −x có thể viết lại như sau:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

Bình phương của −1 bằng 1, nên ta lại được x².

$$x^2=1\cdot x^2$$

Hàm số sau có phải là hàm số chẵn không?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Thay vào định nghĩa:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Có thể viết lại các phân thức này: thay vì lấy giá trị tuyệt đối của cả phân thức, ta chuyển nó vào tử và mẫu.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Biến đổi mẫu của phân thức thứ hai, vì theo định nghĩa giá trị tuyệt đối chắc chắn có |x| = |−x|.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Đến đây ta được đẳng thức.

Kiểm tra hàm số lẻ

Làm sao kiểm tra một hàm số có lẻ hay không? Lại phải dựa vào định nghĩa. Theo định nghĩa, hàm số f là lẻ nếu

$$f(-x)=-f(x)$$

Bắt đầu với hàm số f(x) = x³. Thay vào định nghĩa:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

Vế trái có thể viết lại giống như ở ví dụ trước:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

Luỹ thừa bậc ba của −1 bằng −1:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Vậy ta có đẳng thức:

$$-x^3=-x^3$$

Hàm số là hàm số lẻ.

Hàm số đã cho có phải là hàm số lẻ không?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Thay vào định nghĩa:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Ở đây không có nhiều thứ để biến đổi: chỉ cần đưa dấu trừ ở phân thức thứ nhất ra trước cả phân thức, ta được đẳng thức:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Hàm số là hàm số lẻ.

Hàm số không chẵn cũng không lẻ

Hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ. Có lẽ phần lớn các hàm số đều như vậy. Lấy ví dụ hàm số bậc nhất f(x) = x + 1. Thử thay vào định nghĩa hàm số chẵn:

$$x+1=-x+1$$

Rút x:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

đẳng thức không đúng với mọi x mà chỉ đúng với một số giá trị, nên hàm số không chẵn. Bây giờ xét tính lẻ:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Phương trình này thậm chí vô nghiệm, nên hàm số không lẻ.

Hàm số vừa chẵn vừa lẻ

Có hàm số nào vừa chẵn vừa lẻ không? Có đồ thị nào vừa đối xứng qua trục tung vừa đối xứng qua gốc toạ độ không? Câu trả lời là có. Có đúng một hàm số vừa chẵn vừa lẻ, đó là hàm hằng f(x) = 0. Đồ thị của nó trùng với trục hoành.

Lưu ý: thực ra có vô số hàm số như vậy, vì ta có thể định nghĩa hàm số g(x) có cùng công thức nhưng xác định trên một tập xác định khác. Chẳng hạn, có thể có hàm số g(x) = 0 với tập xác định chỉ gồm các số nguyên dương. Hàm số này khác với hàm số f(x) xác định trên tập số thực. Tuy vậy, công thức luôn như nhau.

Hàm số tạo từ hàm số chẵn và hàm số lẻ

Một tình huống thú vị xảy ra khi có hai hàm số chẵn hoặc lẻ và ta thử cộng, nhân chúng, v.v. Chẳng hạn, tổng của hai hàm số chẵn lại là một hàm số chẵn. Có rất nhiều quy tắc và trường hợp kết hợp như vậy.