Hàm số mũ

Hàm số mũ là hàm số có biến nằm ở vị trí số mũ.

Định nghĩa

Hàm số mũ f có dạng

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Kí hiệu a là một số tuỳ ý, không phải biểu thức phức tạp nào; nó gọi là cơ số. Biểu thức x gọi là số mũ. Chẳng hạn, cơ số có thể là số nguyên 3, số hữu tỉ $\frac{1}{2}$ hoặc hằng số π.

Vì sao cơ số a phải thoả mãn điều kiện? Nếu a bằng 1 thì ta được hàm hằng, vì “1 mũ bao nhiêu” cũng luôn bằng 1. Ta có 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. Vì hàm hằng không được xếp vào hàm số mũ, nên a phải khác 1, tức a ≠ 1.

Còn vì sao phải có a>0? Vì luỹ thừa với số mũ thực chỉ được định nghĩa khi cơ số dương. Chẳng hạn, nếu chọn x bằng một phần hai, thì tính $a^{\frac{1}{2}}$ cũng giống như tính căn bậc hai của số a. Mà chỉ có thể khai căn bậc hai của số không âm.

Khi các điều kiện trên được thoả mãn, hàm số mũ f(x) = a^x có tập xác định là tập số thực.

Hàm số bậc hai và hàm số mũ

Hàm số mũ rất dễ nhầm với hàm số bậc hai. Hàm số bậc hai có biến ở cơ số và có một số ở số mũ, còn hàm số mũ có một số ở cơ số và có biến ở số mũ. Như vậy các hàm số bậc hai là, chẳng hạn: x², x² + 4 hoặc x² − x + 1. Các hàm số mũ là: 2^x, 4^x hoặc π^x.

Các hàm số mũ quan trọng

Một hàm số mũ quan trọng là “hàm số mũ cơ số e”. Đó là hàm số có cơ số là hằng số e, tức số e. Số e là một số vô tỉ, tức số có biểu diễn thập phân vô hạn không tuần hoàn, nên không thể viết chính xác bằng số thập phân. Giá trị gần đúng của nó là e = 2,718 281 828… Hàm số này thường được kí hiệu là exp.

Một hàm số mũ quan trọng khác là “hàm số mũ cơ số 10”, có cơ số bằng 10: a = 10.

Dạng của hàm số tuỳ theo giá trị của a

Hàm số có hai dạng cơ bản, khác nhau tuỳ theo giá trị của cơ số. Ta phân biệt hai khoảng: (0; 1) và (1; +∞). Nếu a thuộc khoảng thứ nhất, tức nhỏ hơn 1, thì hàm số nghịch biến. Nếu a thuộc khoảng thứ hai thì hàm số đồng biến. Điều này tất nhiên là hợp lí. Lấy ví dụ $a=\frac{1}{2}$, tức hàm số $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. Điều gì xảy ra khi lần lượt thay x bằng 2, 3 và 4? Giá trị của hàm số sẽ giảm dần, vì ta được: $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, tiếp theo $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, bằng $\frac{1}{8}$. Với f(4) ta được một nửa của một phần tám, tức $\frac{1}{16}$. Ta nhận được các số ngày càng nhỏ, vì cơ số nhỏ hơn 1. Khi nhân với các số nhỏ hơn 1, ta luôn được số nhỏ hơn.

Ngược lại, nếu a>1 thì kết quả phép nhân sẽ là số lớn hơn. Với hàm số mũ f(x) = 3^x, tại các giá trị 2, 3, 4 ta được: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Với 3: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Tiếp theo f(4) = 81. Vậy hàm số đồng biến. Để ý rằng dù cơ số là bất kì số nào khác lớn hơn 1, hàm số vẫn luôn đồng biến.

Vì vậy cũng phải phân biệt hai dạng đồ thị tuỳ theo giá trị của cơ số a.

Đồ thị hàm số mũ

Từ mục trước, ta biết đồ thị phải có hai dạng cơ bản tuỳ theo giá trị của cơ số a. Trước hết là đồ thị ứng với các giá trị a thuộc khoảng (0; 1).

Ta thấy hàm số nghịch biến và đồ thị đi qua điểm (0; 1). Đây không phải là ngẫu nhiên: theo tính chất của luỹ thừa, mọi số (khác 0) mũ 0 đều bằng 1. Tức là ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$, v.v. Vì vậy mọi đường cong của hàm số mũ đều phải đi qua điểm này. Kể cả đường cong ứng với hàm số mũ khi a>1, như thấy trên hình sau:

Tính chất của hàm số mũ

• Tập xác định là tập hợp tất cả các số thực
• Tập giá trị là khoảng (0; +∞)
• Hàm số bị chặn dưới, a^x>0. Không bị chặn trên.
• Không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Tính đơn điệu của hàm số phụ thuộc vào giá trị của a. Nếu a thuộc khoảng (0; 1) thì hàm số nghịch biến. Nếu a thuộc khoảng (1; +∞) thì hàm số đồng biến.

Tăng trưởng mũ

Cụm từ “tăng trưởng mũ” khá hay được dùng cả trong lời nói hằng ngày. Thường người ta muốn nói rằng một thứ gì đó tăng lên cực kì nhanh. Ví dụ kinh điển là sự phân chia của vi khuẩn. Giả sử có một con vi khuẩn sinh sôi theo cách cứ mỗi lần lại tách đôi. Cách sinh sôi này có thể mô tả bằng hàm số mũ f(x) = 2^x. Giá trị của hàm số cho biết số vi khuẩn sau x lần phân chia.

Ví dụ: lúc đầu (chưa phân chia lần nào, x = 0) có một con vi khuẩn, tức 2⁰ = 1. Sau lần sinh sôi thứ nhất, ta có 2¹ = 2, tức hai con vi khuẩn. Đúng vậy, một con vi khuẩn tách thành hai. Bây giờ cả hai con lại tách đôi, ta có 2² = 4 con vi khuẩn. Mỗi con lại tách đôi, nên sau lần thứ ba đã có 2³ = 8 con vi khuẩn. Và cứ thế tiếp tục.

Sự sinh sôi này, dù thoạt nhìn không giống vậy, lại cực kì nhanh. Sau lần thứ 10 có bao nhiêu vi khuẩn? 2¹⁰ = 1024. Đã là một con số đáng kể. Sau 20 lần, ta có: 2²⁰ = 1.048.576. Sau 30 lần, con số đã vượt quá một tỉ.

Tốc độ này lớn hơn nhiều so với một hàm số bậc hai thông thường. Nếu so sánh tốc độ tăng của hàm số mũ f(x) = 2^x và hàm số bậc hai g(x) = x², hàm số mũ thắng tuyệt đối. Ta đã biết giá trị của hàm số f tại điểm x = 20, trong khi giá trị của hàm số bậc hai g tại điểm x = 20 chỉ bằng: g(20) = 20² = 400. Con số này nhỏ hơn 1.048.576 rất nhiều lần.