Hàm số nhiều tham số

Những hàm số đơn giản nhất thường chỉ có một tham số. Chúng dễ dùng và dễ phân tích. Nhưng trong thực tế đôi khi ta cần những hàm số phức tạp hơn, có nhiều tham số.

Hàm số nhiều tham số có dạng thế nào

Cho đến nay ta làm việc với các hàm số có một tham số. Tuy nhiên, hàm số hoàn toàn có thể có hai tham số hoặc nhiều hơn. Làm việc với hàm số như vậy cũng giống như với hàm số một tham số; chỉ có điều, theo hình ảnh bảng, ta có nhiều cột đầu vào, còn cột đầu ra vẫn chỉ có một. Bảng như vậy có thể có dạng sau:

$$\begin{array}{ccc}\text{Đầu vào a}& \text{Đầu vào b}& \text{Kết quả}\\ 1& 1& 2\\ 1& 2& 3\\ 1& 5& 6\\ 3& 5& 8\\ 4& 12& 16\end{array}$$

Kí hiệu của hàm số này tương tự như hàm số một tham số, chỉ khác là trong dấu ngoặc ta viết hai tham số: f(a,b). Khi đó lời gọi hàm có dạng f(1, 2). Để tính giá trị, ta tìm dòng có Đầu vào a = 1 và Đầu vào b = 2. Trên dòng đó, cột Kết quả có giá trị 3, nên f(1, 2) = 3.

Để ý rằng trong cột đầu vào a có những giá trị xuất hiện nhiều lần. Ta đã biết hàm số với cùng một đầu vào phải luôn trả về cùng một kết quả. Điều đó có còn đúng ở đây không, khi một cột đầu vào có các giá trị giống nhau? Vẫn đúng, vì cột thứ hai phân biệt chúng. Do đó số 1 xuất hiện nhiều lần ở cột thứ nhất là không sao, vì mỗi lần nó lại đi kèm một giá trị khác ở cột thứ hai. Hàm số được gọi với hai đối số, nên điều kiện là: với cùng một cặp đối số, hàm số phải trả về cùng một kết quả. Một bảng sai có dạng như sau:

$$\begin{array}{ccc}\text{Đầu vào a}& \text{Đầu vào b}& \text{Kết quả}\\ 1& 1& 2\\ 1& 2& 3\\ 1& 5& 6\\ 3& 4& 8\\ 3& 4& 13\end{array}$$

Hai dòng cuối có cùng giá trị đầu vào, nên bảng này không phải là định nghĩa hợp lệ của một hàm số. Hàm số này sẽ không biết trả về gì nếu ta gọi nó với các đối số f(3, 4).

Ví dụ về hàm số nhiều tham số

Trong toán học, luỹ thừa là một ví dụ về hàm số hai tham số. Hàm luỹ thừa nhận cơ số làm đối số thứ nhất và số mũ làm đối số thứ hai. Nói cho rõ, cách viết x² thực chất là lời gọi một hàm số hai tham số. Nếu muốn tự định nghĩa phép nâng lên luỹ thừa như một hàm số, ta có thể viết:

$$\text{luỹ thừa}(a,b)=a^b$$

Tham số a là cơ số, tham số b là số mũ. Như vậy x² cũng có thể viết là luỹ thừa(x, 2). Trong thân hàm, tham số a được thay bằng biến x, tham số b được thay bằng số mũ 2. Và ta lại được biểu thức x².

Ví dụ khác là các phép toán quen thuộc như phép cộng hay phép nhân. Phép cộng hay phép nhân không gì khác hơn là một hàm số hai tham số:

$$\begin{array}{rcl}\text{cộng}(a,b)& =& a+b\\ \text{nhân}(a,b)& =& a\cdot b\end{array}$$