Tăng trưởng mũ

Một truyền thuyết cổ kể rằng người phát minh ra cờ vua xin nhà vua một phần thưởng khiêm tốn: ô thứ nhất của bàn cờ đặt một hạt gạo, ô thứ hai hai hạt, ô thứ ba bốn hạt, và mỗi ô tiếp theo gấp đôi ô trước. Nhà vua bật cười vì nhà thông thái xin quá ít, rồi sai mang đến một bao gạo. Nhưng ông đã cười quá sớm.

Ô thứ nhất có 1 hạt, tức 2⁰. Ô thứ hai có 2¹ = 2, ô thứ ba có 2² = 4, ô thứ tư có 2³ = 8. Số mũ nhỏ hơn số thứ tự của ô một đơn vị, nên ở ô cuối cùng, ô thứ 64, có

$$2^{63}=9.223.372.036.854.775.808$$

hạt. Tức là hơn chín tỉ tỉ hạt. Nhưng đó mới chỉ là ô cuối cùng, còn ta cần cả bàn cờ. Cộng tất cả các ô lại, ta được

$$1+2+4+\dots +2^{63}=2^{64}-1,$$

tức đúng 18.446.744.073.709.551.615 hạt.

Vì sao lại đúng bằng 2⁶⁴ − 1? Hãy kiểm tra với các ô đầu tiên: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Lần nào tổng cũng nhỏ hơn số hạt ở ô tiếp theo một đơn vị.

Một hạt gạo xát nặng khoảng 20 miligam, nên một nghìn hạt nặng khoảng 20 gam. Ta tính xem cả bàn cờ nặng bao nhiêu:

$$(2^{64}-1)\cdot 20\text{mg}\approx 369.000.000.000\text{t}$$

Cả bàn cờ sẽ nặng khoảng 369 tỉ tấn gạo. Trong khi đó, cả thế giới mỗi năm sản xuất khoảng 540 triệu tấn gạo xát. Lượng gạo trên bàn cờ đủ cho bao nhiêu năm thu hoạch của cả thế giới? Lấy thương của hai số:

$$\frac{369.000.000.000}{540.000.000}\approx 683$$

Nhà vua sẽ phải trao cho nhà phát minh toàn bộ số gạo mà loài người thu hoạch trong hơn 600 năm. Điều thú vị nhất là nó trông vô hại trong một thời gian dài: cả nửa đầu bàn cờ, 32 ô, cộng lại được 2³² − 1, tức khoảng 4,3 tỉ hạt. Chừng 86 tấn, vài chuyến xe tải. Phần còn lại đổ hết vào nửa sau của bàn cờ.

Cộng và nhân

Nếu một đại lượng tăng lên bằng cách ở mỗi bước cộng thêm cùng một số, ta nói về tăng trưởng tuyến tính. Ngược lại, nếu ở mỗi bước nó được nhân với cùng một số, đó là tăng trưởng mũ. Trên bàn cờ, đó là phép nhân với 2.

Bố mẹ cho Minh hai lựa chọn tăng tiền tiêu vặt. Hiện Minh được 300.000 đồng mỗi tháng, và mỗi tháng tiền tiêu vặt sẽ hoặc tăng thêm 100.000 đồng, hoặc tăng 10%. 100.000 đồng, hay chỉ 10% của 300.000 đồng, tức 30.000 đồng? Lựa chọn có vẻ quá rõ ràng.

Ở tháng thứ nhất đúng là như vậy. Với phép cộng, Minh được 300.000 + 100.000 = 400.000 đồng, với phép nhân được 300.000 · 1,1 = 330.000 đồng. Sau nửa năm, phép cộng cho 900.000 đồng, còn phép nhân cho khoảng 531.000 đồng. Nhưng 10% được tính trên một số tiền ngày càng lớn, nên phần tăng thêm cũng lớn dần, trong khi một trăm nghìn vẫn mãi là một trăm nghìn. Đến tháng thứ 23, phép nhân vượt qua phép cộng và từ đó chỉ càng bỏ xa: sau 3 năm, với phép cộng Minh được 3.900.000 đồng, với phép nhân được hơn 9.200.000 đồng. Còn sau 4 năm là 5.100.000 đồng so với khoảng 29.100.000 đồng mỗi tháng.

Đường thẳng màu xanh dương dẫn trước một thời gian, nhưng đường cong màu đỏ đi lên ngày càng dốc. Điều này đúng một cách tổng quát: sớm hay muộn, tăng trưởng mũ cũng vượt qua mọi tăng trưởng tuyến tính, vấn đề chỉ là khi nào.

Toàn bộ tăng trưởng mũ gói gọn trong một công thức

$$N=N_0\cdot q^t,$$

trong đó N₀ là giá trị ban đầu, q là số mà giá trị được nhân lên sau mỗi chu kì, và t là số chu kì đã trôi qua. Với Minh, N₀ = 300.000 và q = 1,1, vì cộng thêm 10% nghĩa là nhân với 1,1. Sau 36 tháng ta được

$$N=300.000\cdot 1,1^{36}\approx 9.274.000\text{đồng}.$$

Trên bàn cờ, N₀ = 1 và q = 2. Biến t nằm ở số mũ, nên đây là một hàm số mũ. Ở đó bạn cũng sẽ tìm thấy vi khuẩn phân đôi.

Sau bao lâu thì tăng gấp đôi?

Với tăng trưởng mũ, câu hỏi hữu ích là sau bao lâu thì giá trị tăng gấp đôi. Thời gian tăng gấp đôi này không thay đổi, dù ta bắt đầu từ lúc nào. Nếu một đại lượng tăng gấp đôi sau 10 năm thì sau 10 năm tiếp theo nó lại tăng gấp đôi, và sau 20 năm nó gấp bốn lần.

Để ước lượng, có một mẹo đơn giản là quy tắc 70: nếu một đại lượng tăng p phần trăm mỗi chu kì thì nó tăng gấp đôi sau khoảng

$$\frac{70}{p}$$

chu kì. Nếu giá cả trong cửa hàng mỗi năm tăng 7% thì chúng tăng gấp đôi sau khoảng 70:7 = 10 năm. Ổ bánh mì hôm nay giá 20.000 đồng thì 10 năm nữa sẽ giá gần 40.000 đồng. Ngược lại, tiền gửi tiết kiệm với lãi suất 3%/năm sẽ tăng gấp đôi sau khoảng 70:3 ≈ 23 năm. Tiền lãi được tính cả trên phần lãi trước đó, nên đây là lãi kép, tức lại là tăng trưởng mũ.

Vì sao lại là 70? Thời gian tăng gấp đôi chính xác tìm được nhờ lôgarit. Ta tìm t là nghiệm của phương trình mũ

$$1,{07}^t=2.$$

Lấy lôgarit hai vế, số mũ được đưa xuống trước lôgarit:

$$t\cdot \log 1,07=\log 2$$

Bây giờ chỉ cần chia:

$$t=\frac{\log 2}{\log 1,07}\approx \frac{\mathrm{0,301}}{\mathrm{0,029}4}\approx 10,2$$

Như vậy giá cả tăng gấp đôi sau chưa đầy 10 năm 3 tháng, quy tắc 70 cho kết quả gần như chính xác. Số 70 xuất phát từ chỗ thương của hai lôgarit không thay đổi, dù ta lấy lôgarit với cơ số nào. Với lôgarit tự nhiên ln và mức tăng tổng quát p phần trăm, ta được

$$t=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}\approx \frac{\mathrm{0,693}}{\frac{p}{100}}=\frac{69,3}{p},$$

vì với phần trăm nhỏ thì $\ln (1+\frac{p}{100})$ xấp xỉ bằng $\frac{p}{100}$. Thay cho 69,3 người ta lấy 70, vì dễ chia hơn. Do đó quy tắc này dùng tốt với vài phần trăm, còn với vài chục phần trăm thì đã sai lệch đôi chút.

Hoa súng trong ao

Trước khi đọc tiếp, hãy thử tự giải câu đố này. Trong một cái ao có hoa súng mọc, và mỗi ngày số hoa súng gấp đôi ngày hôm trước. Sau 30 ngày, hoa súng phủ kín cả ao. Hỏi vào ngày thứ mấy hoa súng phủ được một nửa ao?

Câu trả lời đến ngay trong đầu là ngày thứ 15, vì 15 là một nửa của 30. Nhưng số hoa súng mỗi ngày tăng gấp đôi, nên nếu ngày thứ 30 cả ao đã bị phủ kín thì ngày hôm trước ao phải bị phủ một nửa. Một nửa ao bị hoa súng phủ vào ngày thứ 29.

Lùi xa hơn nữa: ngày thứ 28 hoa súng phủ một phần tư ao, ngày thứ 27 một phần tám, ngày thứ 26 một phần mười sáu, ngày thứ 25 chỉ khoảng 3% mặt nước. Ai ra ao xem vào ngày thứ 25 sẽ thấy nước gần như trong veo và nghĩ rằng còn nhiều thời gian. Vậy mà chỉ 5 ngày sau, cả ao đã kín hoa súng.

Đó chính là chỗ đánh lừa của tăng trưởng mũ. Phần lớn thời gian nó trông vô hại, và đến khi mắt thường nhìn thấy được thì chỉ còn vài lần tăng gấp đôi nữa là kết thúc.

Dịch bệnh

Bệnh tật cũng có thể lây lan với tốc độ như vậy. Giả sử trong một thành phố hôm nay có 100 người nhiễm bệnh và số ca bệnh tăng gấp đôi sau mỗi 3 ngày. Sau 30 ngày, số ca tăng gấp đôi 10 lần:

$$100\cdot 2^{10}=100\cdot 1.024=102.400$$

Từ 100 người bệnh, sau một tháng đã có hơn 100.000 người. Vì vậy các nhà dịch tễ học thúc đẩy các biện pháp phòng chống ngay khi con số còn nhỏ và mọi người cảm thấy chẳng có gì xảy ra. Bởi vì khi đó ta đang ở ngày thứ 25 của cái ao.

Tốc độ lây lan của bệnh được mô tả bằng hệ số lây nhiễm R. Nói đơn giản: trung bình một người bệnh lây cho bao nhiêu người khác. Nếu R = 2 thì mỗi người lây cho hai người khác, hai người đó lây cho bốn người, và mỗi “thế hệ” người bệnh đông gấp đôi thế hệ trước. Nếu một thế hệ kéo dài khoảng 3 ngày, ta quay lại đúng ví dụ ở trên. Nếu kéo được R xuống dưới 1, chẳng hạn 0,8, thì ở mỗi thế hệ số người bệnh được nhân với một số nhỏ hơn 1 và dịch bệnh suy yếu. Từ 100 người nhiễm bệnh, đến thế hệ thứ 10 chỉ còn khoảng

$$100\cdot 0,8^{10}\approx 11$$

người bị lây.

Sự khác biệt giữa R = 0,8 và R = 2 có vẻ nhỏ. Nhưng sau 10 thế hệ, nó trở thành khoảng cách giữa 11 và 102.400 người bệnh.

Gấp tờ giấy 42 lần

Lấy một tờ giấy dày khoảng một phần mười milimét. Gấp đôi nó lại, ta có hai lớp, tức hai phần mười milimét. Gấp thêm lần nữa, ta có bốn lớp. Mỗi lần gấp, độ dày tăng gấp đôi. Sau 42 lần gấp, tờ giấy dày bao nhiêu?

$$0,1\text{mm}\cdot 2^{42}\approx 440.000.000.000\text{mm}=440.000\text{km}$$

Mặt Trăng cách Trái Đất trung bình khoảng 384.000 km. Tờ giấy gấp 42 lần sẽ chạm tới Mặt Trăng và còn thừa ra một đoạn.

Bạn không cần thử, vì dù sao cũng không thể gấp một tờ giấy bằng tay quá 7 lần. Sau 7 lần gấp, nó có 128 lớp và dày gần 1,3 cm, lại ngày càng nhỏ và cứng hơn. Kỉ lục là 13 lần gấp, và để làm được điều đó cần một dải giấy vệ sinh dài khoảng 16 km.

Vì sao con số này có vẻ phi lí? Trực giác xử lí tốt phép cộng. Khi hình dung 42 bước, ta hình dung 42 bước giống nhau nối tiếp nhau. Nhưng ở đây mỗi bước lại thêm vào đúng bằng độ dày của cả tờ giấy cho đến lúc đó. Sau 10 lần gấp, tờ giấy dày khoảng 10 cm, sau 20 lần hơn 100 m, và sau 30 lần đã cao tới 107 km. Còn 12 lần gấp cuối cùng đưa tờ giấy tới Mặt Trăng chỉ đơn giản là 12 lần tăng gấp đôi nữa.

Không thể kéo dài mãi

Nếu hoa súng tiếp tục sinh sôi với tốc độ đó, ngày thứ 31 chúng sẽ phủ kín hai cái ao, ngày thứ 40 là một nghìn cái ao. Tất nhiên thực tế không như vậy. Cái ao chỉ có diện tích hữu hạn, vi khuẩn chỉ có lượng thức ăn hữu hạn, và dịch bệnh không còn ai để lây khi phần lớn mọi người đã mắc bệnh. Trong tự nhiên, tăng trưởng mũ chỉ kéo dài cho đến khi bắt đầu thiếu chỗ hoặc thiếu nguồn sống.

Khi đó tăng trưởng chậm lại và giá trị tiến dần tới mức trần mà môi trường có thể nuôi được. Đồ thị của sự tăng trưởng như vậy trông như chữ S kéo dài, nên được gọi là đường cong chữ S, theo thuật ngữ chuyên môn là tăng trưởng logistic.

Lúc đầu hai đường cong gần như không khác nhau. Nguồn sống còn dồi dào, không có gì kìm hãm, nên đường cong chữ S tăng theo hàm mũ. Chưa đến nửa đường, nó đã bắt đầu tách khỏi đường cong hàm mũ; ở giữa đường tới mức trần K nó tăng nhanh nhất, rồi uốn cong và chỉ chậm rãi tiến tới mức trần. Khó ở chỗ từ phần đầu của đồ thị, ta không thể biết mình đang nhìn đường cong hàm mũ hay đường cong chữ S. Điều đó chỉ lộ ra về sau.

Theo cùng một khuôn mẫu, giá trị cũng có thể giảm. Chỉ cần ở mỗi chu kì giá trị được nhân với một số nhỏ hơn 1, như dịch bệnh với R = 0,8. Ví dụ kinh điển là sự phân rã phóng xạ. Thay cho thời gian tăng gấp đôi, ở đây người ta nói về chu kì bán rã, tức khoảng thời gian để một nửa lượng chất bị phân rã. Xêsi 137 phóng xạ có chu kì bán rã khoảng 30 năm. Sau 30 năm còn lại một nửa, sau 60 năm còn một phần tư, sau 90 năm còn một phần tám. Về mặt toán học, lượng chất chỉ giảm đi một nửa rồi lại một nửa và không bao giờ về 0. Nhưng vật chất được cấu tạo từ nguyên tử, nên sau khoảng 2.000 năm, ngay cả nguyên tử cuối cùng trong một gam xêsi cũng sẽ phân rã.

Xem thêm

• Hàm số mũ
• Hàm số lôgarit
• Lãi kép