Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất là hàm số có cả tử lẫn mẫu đều là hàm số bậc nhất:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất đơn giản nhất là $y=\frac{k}{x}$. Có thể bạn đã gặp nó ở THCS dưới tên đại lượng tỉ lệ nghịch, trong các bài toán tỉ lệ. Từ Hà Nội đến Bắc Ninh khoảng 30 km. Đi với tốc độ 30 km/h thì mất một giờ, với 60 km/h thì mất nửa giờ, còn đi xe đạp 15 km/h thì mất hai giờ. Tốc độ gấp đôi, thời gian giảm một nửa. Vậy thời gian đi (tính bằng giờ) là

$$t=\frac{30}{v},$$

trong đó v là tốc độ tính bằng km/h. Đây chính là hàm số $y=\frac{k}{x}$ với k = 30.

Đồ thị của hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất là một hypebol, cụ thể là hypebol vuông, tức có hai đường tiệm cận vuông góc với nhau. So với các hình trong bài kia, nó còn được xoay sao cho không tiến gần hai đường thẳng xiên cắt nhau mà tiến gần một đường nằm ngang và một đường thẳng đứng. Chẳng hạn, đây là đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x-2}$, các đường tiệm cận là hai đường thẳng nét đứt màu xanh dương x = 2 và y = 1:

Công thức còn đi kèm hai điều kiện: c ≠ 0 và ad − bc ≠ 0. Nếu c = 0 thì ở mẫu không còn x, và ta được một hàm số bậc nhất thông thường. Còn nếu ad − bc = 0 thì tử là bội của mẫu, phân thức rút gọn được và chỉ còn lại một hàm hằng.

Hàm số k chia x

Bắt đầu với hàm số $y=\frac{k}{x}$. Không được thay x bằng 0, vì không thể chia cho 0, do đó tập xác định là D = ℝ ∖ {0}. Nhưng số 0 cũng không bao giờ là kết quả, vì phân thức có tử khác 0 thì không thể bằng 0. Vì vậy tập giá trị cũng là T = ℝ ∖ {0}.

Thử thay vài số vào hàm số $y=\frac{2}{x}$. Với x = 1 ta được y = 2, với x = 2 ta được y = 1, còn với x = 4 chỉ còn $y=\frac{1}{2}$. x càng lớn thì đồ thị càng sát trục hoành, nhưng không bao giờ chạm vào nó. Ngược lại, x càng gần 0 thì y càng lớn: với $x=\frac{1}{10}$ ta được y = 20. Như vậy đồ thị vọt lên dọc theo trục tung. Với x âm cũng vậy, chỉ ngược dấu.

Đường cong màu đỏ trên hình là đồ thị hàm số $y=\frac{2}{x}$, đường màu xanh dương là đồ thị hàm số $y=-\frac{2}{x}$. Các điểm màu cam ứng với những giá trị vừa tính. Vị trí các nhánh phụ thuộc vào dấu của số k:

• với k>0, các nhánh của hypebol nằm ở góc phần tư thứ I và thứ III,
• với k<0, chúng nằm ở góc phần tư thứ II và thứ IV.

Các trục toạ độ mà đồ thị tiến gần tới gọi là các đường tiệm cận.

Bây giờ cần cẩn thận với một cái bẫy mà hầu như ai cũng mắc. Hàm số $y=\frac{2}{x}$ là nghịch biến, phải không? Đúng là từng nhánh màu đỏ riêng rẽ đều đi xuống. Nhưng thử lấy x₁ = −1 và x₂ = 1. Ta có x₁<x₂, vậy mà f(−1) = −2 lại nhỏ hơn f(1) = 2. Như vậy hàm số không nghịch biến trên toàn bộ D; nó nghịch biến riêng trên khoảng (−∞; 0) và riêng trên khoảng (0; +∞). Viết rằng hàm số nghịch biến trên ℝ ∖ {0} là sai.

Đồ thị tịnh tiến và biến đổi dạng tổng quát

Đồ thị hàm số $y=\frac{k}{x}$ có thể tịnh tiến giống như parabol ở hàm số bậc hai. Hàm số

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

có đồ thị giống hệt đồ thị $y=\frac{k}{x}$, chỉ là được tịnh tiến sang phải m đơn vị và lên trên n đơn vị. Chú ý dấu: ở mẫu là x − m, nên $\frac{k}{x-3}$ tịnh tiến sang phải ba đơn vị, chứ không phải sang trái. Các đường tiệm cận cũng tịnh tiến theo đồ thị, nên chúng không còn là các trục toạ độ mà là các đường thẳng x = m và y = n. Tiệm cận đứng nằm ở chỗ mẫu bằng 0. Khi x dần tới m, mẫu rất nhỏ và phân thức rất lớn, nên đồ thị lao lên trên hoặc xuống dưới. Tiệm cận ngang nằm ở chỗ mà các giá trị của hàm số dần tới khi x ở rất xa 0, cả về phía dương lẫn phía âm. Khi đó phân thức $\frac{k}{x-m}$ gần như bằng 0 và chỉ còn lại n.

Tuy nhiên, công thức tổng quát $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ thường không có sẵn dạng này. Ta xem cách biến đổi với hàm số

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

Ở mẫu là x − 1, nên ta cố tạo ra chính biểu thức đó ở tử. Hai lần x − 1 là 2x − 2, và để từ đó được tử 2x + 1, phải cộng thêm 3:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Thay vào phân thức:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Tách phân thức thành tổng của hai phân thức:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

Ở phân thức thứ nhất, rút gọn x − 1:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

Cũng có thể đi đến kết quả này bằng phép chia đa thức: (2x + 1):(x − 1) được thương là 2, dư 3. Từ kết quả dễ dàng đọc ra m = 1, n = 2 và k = 3. Các đường tiệm cận là x = 1 và y = 2. Vì k dương nên so với các đường tiệm cận, các nhánh nằm ở phía trên bên phải và phía dưới bên trái, tương tự như với $y=\frac{2}{x}$.

Tập xác định suy ra từ mẫu: mẫu không được bằng 0, tức x ≠ 1. Ngược lại, hàm số không nhận giá trị 2, vì phân thức $\frac{3}{x-1}$ không thể bằng 0:

$$D=\mathbb{R}\setminus \{1\},T=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Còn lại các giao điểm với các trục toạ độ. Tại giao điểm với trục hoành, y = 0, và phân thức bằng 0 khi và chỉ khi tử bằng 0:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Giao điểm với trục tung tìm được bằng cách thay x bằng 0:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $(-\frac{1}{2};0)$ và cắt trục tung tại điểm (0; −1). Cả hai giao điểm được vẽ màu cam trên hình, các đường tiệm cận là nét đứt màu xám:

Để ý rằng giao điểm với trục tung cũng tìm được từ dạng đã biến đổi: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Khớp.