Hàm số là gì

Hàm số là một khái niệm hết sức cơ bản của toán học, cần hiểu thật thấu đáo. Toán học chứa đầy các hàm số, và nhiều kí hiệu quen thuộc từ thời tiểu học thực chất đều biểu diễn một hàm số.

Hình dung về hàm số

Bạn đã bao giờ thấy máy bán cà phê tự động chưa? Điều gì đặc trưng cho một chiếc máy như vậy? Ta bỏ vào máy vài đồng xu, và máy trả ra một cốc cà phê. Bỏ nhiều tiền hơn thì máy trả ra cà phê ngon hơn.

Hàm số giống như một chiếc máy bán cà phê trong toán học. Ta đưa vào hàm số một đầu vào (đồng xu), và hàm số trả về một đầu ra (cà phê). Đó là toàn bộ nguyên lí cơ bản của hàm số.

Nhiệm vụ của hàm số là nhận một đầu vào, tức một số nào đó, xử lí số đó bên trong, biến đổi nó, rồi trả về số mới ở đầu ra.

Các khái niệm cơ bản

Mỗi hàm số có một tên để gọi nó. Tên thường gặp nhất của hàm số là chữ “f”. Hàm số cần có một quy tắc xác định cách nó hoạt động, tức là chiếc máy phải pha cà phê như thế nào. Lúc đầu có thể hình dung hàm số như một bảng gồm hai cột. Cột thứ nhất là đầu vào (với chiếc máy, đó là giá trị của các đồng xu), cột thứ hai là đầu ra của hàm số (cà phê).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{đầu vào}& \text{đầu ra}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Ta thấy đầu ra luôn gấp đôi đầu vào, nhưng điều đó hoàn toàn không bắt buộc. Bảng cũng có thể như thế này:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{đầu vào}& \text{đầu ra}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Tuy vậy, lúc đầu chỉ cần bảng thứ nhất, bảng có quy luật. Có thể nói bảng này xác định hàm số f. Hàm số làm gì? Ta đưa vào hàm số một đầu vào, hàm số tìm đầu vào đó trong cột thứ nhất của bảng và trả về đầu ra nằm trên cùng dòng. Nếu cần tìm đầu ra của hàm số ứng với số ba, ta viết:

$$f(3)=6$$

Ta đã tìm dòng có đầu vào bằng 3, và trên cùng dòng đó đầu ra bằng 6. Tương tự, f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 và f(5) = 10. Viết mọi hàm số bằng bảng có thể dễ nhìn khi chỉ có vài số, nhưng khi làm việc với nhiều số thì cách này rất bất tiện. Vì vậy cần một cách viết khác: cho hàm số bằng công thức. Trong bảng trên, đầu ra gấp đôi đầu vào. Bằng công thức, ta viết:

$$f(x)=2\cdot x$$

Đây là một hàm số bậc nhất đơn giản, nhưng điều đó tạm thời chưa quan trọng. Biểu thức này cho ta biết gì? Chữ f là tên của hàm số, điều này ta đã biết. Biểu thức trong dấu ngoặc, tức chữ x, là tham số của hàm số. Với chiếc máy bán cà phê, nó tương ứng với “giá trị số tiền bỏ vào”. Tham số của hàm số là một biến dùng để chứa giá trị mà ta đưa vào. Nếu bỏ vào máy (hàm số) 20.000 đồng thì trong hàm số ta có x = 20000. Sau đó máy, hay hàm số, sẽ tự xử lí giá trị này theo cách của nó.

Tiếp theo là dấu bằng, và sau dấu bằng là chính quy tắc cho biết phải làm gì với giá trị x đã cho. Ta thấy hàm số nhân giá trị x nhận được với 2. Chỉ có vậy.

Các ví dụ khác về hàm số

Vế phải này có thể là hầu như bất kì biểu thức toán học nào. Trong đó có thể có các hàm số khác, cũng có thể có các điều kiện làm rõ định nghĩa. Chẳng hạn, có thể định nghĩa một hàm số bằng lời như sau: “nếu đầu vào là số chẵn thì trả về 0, nếu đầu vào là số lẻ thì trả về 1”. Hàm số này chỉ trả về 1 và 0, nhưng nó vẫn là một hàm số.

Điều quan trọng là hiểu rằng có thể định nghĩa hàm số gần như theo bất kì cách nào. Tất nhiên hàm số cũng có những quy tắc riêng, nhưng lúc này chúng chưa quan trọng lắm; một trong các quy tắc đó được nêu ngay ở mục sau. Định nghĩa của hàm số không nhất thiết phải có ý nghĩa ngay từ cái nhìn đầu tiên, cũng không nhất thiết phải có quy luật. Một hàm số hoàn toàn có thể luôn trả về giá trị gấp đôi, trừ trường hợp đầu vào là 7; khi đó nó trả về 9. Điều này có vẻ khá vô lí, nhưng đó vẫn là một hàm số.

Nhiều thao tác ta làm ngoài toán học cũng có thể gọi là hàm số. Chẳng hạn, khi đếm độ dài của từ “trăng”, có thể nói ta đã gọi hàm số có tên “độ dài của từ” và truyền cho nó đối số là từ “trăng”. Hàm số đếm các chữ cái trong từ và trả về số 5 ở đầu ra.

Cần tính lãi kép phải trả cho một khoản vay hay một khoản vay mua nhà? Hàm số cũng làm được việc đó. Chỉ cần định nghĩa một hàm số tính tiền lãi, chẳng hạn sau mười năm. Cần biết chiếc ô tô còn đi được bao nhiêu kilômét với một số lít xăng nhất định? Hãy định nghĩa một hàm số! Nếu trung bình mỗi lít xăng xe đi được 11 km thì hàm số tính quãng đường còn đi được có thể định nghĩa như sau:

$$\text{quãng đường}(x)=11\cdot x$$

Nếu chỉ còn 17 lít xăng, ta tính quãng đường bằng cách gọi hàm số:

$$\text{quãng đường}(17)=11\cdot 17=187$$

Nói gọn lại, hàm số là bất cứ thứ gì trả về một số ứng với một đầu vào nào đó. Trả về khoảng cách theo đường chim bay từ Hà Nội đến một thành phố nào đó, trả về độ dài của bài hát dài nhất trong một album cho trước, trả về số sợi tóc trên đầu của một người cho trước, trả về số chân của một con vật cho trước, v.v.

Tính chất cơ bản của hàm số

Quay lại với bảng, một điều kiện hết sức quan trọng đối với hàm số là: trong cột thứ nhất (cột đầu vào) không có giá trị nào lặp lại hai lần. Nếu bảng có dạng như sau:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{đầu vào}& \text{đầu ra}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… thì ta không thể nói hàm số phải trả về gì khi đưa vào số 1:

$$f(1)=?$$

Hàm số phải được xác định rõ ràng: không thể xảy ra chuyện cùng một đầu vào mà hàm số trả về hai kết quả khác nhau. Điều đó đơn giản là không được phép. Ta yêu cầu hàm số với cùng một đầu vào luôn trả về cùng một đầu ra. Lưu ý rằng yêu cầu này không áp dụng cho cột thứ hai, tức đầu ra. Các đầu ra hoàn toàn có thể giống nhau, điều đó không sao cả. Bảng sau là hợp lệ:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{đầu vào}& \text{đầu ra}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Tính giá trị của hàm số

Ta đã biết tên gọi các phần của hàm số và cách định nghĩa hàm số một cách sơ lược. Bây giờ ta giải thích từng bước quá trình tính giá trị của hàm số. Cho hàm số f(x) = 2x. Điều gì xảy ra khi đưa số 3 vào hàm số? Đưa số 3 vào hàm số nghĩa là thay tham số của hàm số bằng số 3. Đối số của hàm số là 3, nên ta thay mọi x bằng 3:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Ta thấy ngay hàm số trả ra số 6, giống như bảng lúc nãy. Có điều bảng chỉ giới hạn ở năm số, còn định nghĩa mới này nhận được cả những số khác:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Quá trình thay biến x bằng các giá trị cụ thể gọi là tính giá trị của hàm số, gọi hàm hoặc áp dụng hàm. Khi nói “gọi hàm số f với đối số 5”, ta muốn tính giá trị f(5); trong trường hợp này f(5) = 2 · 5 = 10.

Thêm hai khái niệm cần ghi nhớ. Giá trị dùng để gọi hàm số (giá trị thay cho x) gọi là đối số của hàm số. Điều này có vẻ hơi rối, nhưng nếu có hàm số f(x) và gọi nó với giá trị 3, tức f(3), thì x là tham số của hàm số, còn 3 là đối số của hàm số. Đối số là chính giá trị dùng để gọi hàm số. Tham số là biến ban đầu dùng để định nghĩa hàm số. Đây chủ yếu là một chi tiết kĩ thuật.

Khái niệm tiếp theo là giá trị của hàm số, tức giá trị mà hàm số trả về ở đầu ra. Hàm số ở trên khi gọi với số 3 thì trả về số 6. Trong trường hợp này, số 6 là giá trị của hàm số. Nói đầy đủ thành câu: “hàm số f có giá trị bằng 6 tại điểm 3”. Trong ngữ cảnh này, “điểm” thường được hiểu là đối số của hàm số.

Hàm số trong toán học thông thường

Trong toán học thông thường có rất nhiều hàm số được viết theo cách rất đặc biệt, đến mức trông chẳng giống hàm số chút nào. Chẳng hạn, giá trị tuyệt đối không gì khác hơn là một hàm số. Đầu vào là một số, đầu ra là chính số đó hoặc số đối của nó.

Chắc hẳn bạn nhận ra kí hiệu căn bậc hai: $\sqrt{}$. Đây cũng là một hàm số. Đầu vào là một đối số, đầu ra là căn bậc hai của nó. Tương tự, luỹ thừa bậc hai x² cũng là một hàm số. Đầu vào là một số, đầu ra là bình phương của số đó.

Cần nhận thức rõ rằng phần lớn các kí hiệu “thần bí” như vậy thực ra không phức tạp hơn một hàm số bình thường. Đừng nhìn kí hiệu $\sqrt{}$ như một hình móc kì quặc, hãy nhìn nó như một hàm số.

Với người mới học, một biểu thức chứa cả đống kí hiệu toán học có thể gây bối rối, dù thực ra đó chỉ là vài hàm số hợp. Xét ví dụ sau:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Người không chuyên nhìn vào sẽ gãi đầu và không biết phải làm gì với nó. Thế nhưng biểu thức này chỉ gồm bốn hàm số khá đơn giản, lần lượt áp dụng lên biến x. Có thể viết lại bằng các hàm số có tên và lồng vào nhau như sau:

$$\text{giai thừa}(\text{căn}(\text{abs}(\text{bình phương}(x))))$$

Cách viết này dài hơn, nhưng với người chưa quen kí hiệu thì có lẽ dễ hiểu hơn. Đồng thời thứ tự các hàm số lần lượt được gọi cũng hoàn toàn rõ ràng.

Tóm tắt cách viết hàm số

Hàm số có một tên, về cơ bản có thể là bất cứ gì. Hàm số tổng quát thường được đặt tên là f. Mỗi hàm số có một số tham số nhất định, viết trong dấu ngoặc tròn sau tên hàm. Nếu hàm số f có hai tham số, ta viết f(x, y) hoặc f(a, b). Nói chung, tên của tham số không quan trọng.

Một số hàm số hay dùng có kí hiệu riêng, chẳng hạn căn bậc hai có kí hiệu $\sqrt{}$. Ngoài ra sin hay sin(x) là hàm số sin, |x| là hàm số giá trị tuyệt đối và x! là hàm số giai thừa.

Khi hàm số có một tham số, đôi khi ta bỏ dấu ngoặc; điều này có lúc làm cách viết dễ nhìn hơn, có lúc thì không. Vì vậy sin(x) và sin x đều là cách viết hợp lệ của hàm số sin.

Khi nói về tham số của hàm số, ta nói về chữ x trong cách viết f(x). Đối số là giá trị dùng để gọi hàm số, tức giá trị thay cho x. Hai khái niệm này thường được dùng lẫn với nhau. Giá trị của hàm số là giá trị nhận được sau khi gọi hàm số. Ta viết nó đơn giản bằng tên hàm số, dấu ngoặc và đối số. Nếu có hàm số f(x) = 2x và thay tham số x bằng đối số x = 4 thì ta nói đã gọi hàm số với đối số x = 4, và giá trị của hàm số f(4) bằng 8.