Tích phân

Tích phân dùng để tính diện tích của những hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số nào đó.

Vì sao cần tích phân

Cho hàm số $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$. Ta có thể hỏi: diện tích phần nằm dưới đồ thị từ điểm a = 0 đến điểm b = 10 bằng bao nhiêu? Tức là ta cần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị hàm số f và hai đường thẳng thẳng đứng đi qua các điểm a và b. Hình sau tóm tắt tất cả:

Ta cần tính diện tích phần tô màu xanh dương. Tính bằng cách nào? Có thể chia cả phần màu xanh dương thành nhiều phần nhỏ hơn, tính diện tích từng phần rồi cộng tất cả lại. Để tính được diện tích các phần nhỏ, mỗi phần phải có hình dạng đơn giản, tính được bằng công thức. Hình chữ nhật là lựa chọn tự nhiên.

Trước hết ta chọn một dãy điểm tăng dần x₀ đến x_n sao cho x₀ = a, x_n = b. Khi n càng lớn, kết quả càng chính xác. Ta chọn dãy đơn giản x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, …, x₁₀ = 10. Từ hai điểm liền kề ta lập các đoạn [x_{i − 1}; x_i], tức là được tập các đoạn

$$D=\{[0;1];[1;2];[2;3];\dots ;[9;10]\}$$

Đoạn thứ nhất kí hiệu là D₁, đoạn thứ hai là D₂, v.v. Tiếp theo ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên mỗi đoạn D_i. Chẳng hạn trên D₁, hàm số f đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 và f(0) = 0. Trên D₂, giá trị nhỏ nhất đạt tại x = 1 và $f(1)=\sin (1)+\frac{1}{4}\approx \mathrm{1,091}5$. Cứ như vậy. Ta đặt tên cho các giá trị này: giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn D_i kí hiệu là m_i. Như vậy m₁ = 0, m₂ ≈ 1,0915, v.v.

Bây giờ ta vẽ các hình chữ nhật lên đồ thị. Hình chữ nhật thứ i có chiều rộng x_i − x_{i − 1} và chiều cao m_i:

Ta thấy mỗi đoạn ứng với một hình chữ nhật nằm hoàn toàn dưới đồ thị, đồng thời cao nhất có thể. Chiều cao của hình chữ nhật trên đoạn thứ i đúng bằng m_i. Nếu bây giờ cộng diện tích các hình chữ nhật này, ta được một giá trị gần đúng của diện tích phần dưới đồ thị. Vẽ càng nhiều hình chữ nhật dưới đồ thị thì giá trị gần đúng càng chính xác. Diện tích hình chữ nhật thứ i là s_i = m_i · (x_i − x_{i − 1}), nên tổng diện tích của tất cả các hình chữ nhật là:

$$s=\sum _{i=1}^{10}{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Ta có thể làm ngược lại: thay vì luôn lấy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn D_i, ta lấy giá trị lớn nhất. Kí hiệu các giá trị này là M_i. Khi đó các hình chữ nhật trông như sau:

Một lần nữa mỗi đoạn ứng với một hình chữ nhật, và hình chữ nhật đó luôn có chiều cao M_i. Cạnh trên của hình chữ nhật chỉ chạm đồ thị tại điểm hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn đó. Cộng diện tích các hình chữ nhật, ta được một giá trị gần đúng khác của diện tích phần dưới đồ thị. Diện tích này tính bằng

$$S=\sum _{i=1}^{10}{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1})$$

Cũng vậy, nếu tăng số hình chữ nhật, ta được giá trị gần đúng chính xác hơn.

Ta đưa vào các khái niệm tổng Darboux dưới và tổng Darboux trên. Ta nói s(D, f) là tổng Darboux dưới, có giá trị bằng

$$s(D,f)=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

trong đó f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], x₀ = a, x_n = b, D là một phân hoạch đoạn [a; b] thành các đoạn nhỏ hơn và n là số đoạn đó. Tổng Darboux trên kí hiệu là S(D, f) và bằng:

$$S(D,f)=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot (x_i-x_{i-1}),$$

trong đó f là hàm số và D là một phân hoạch đoạn [a; b] thành n đoạn.

Nói một cách đơn giản, phân hoạch D càng mịn thì các giá trị s(D, f) và S(D, f) càng gần nhau, cho đến khi “ở vô cực” chúng bằng nhau. Do đó tồn tại duy nhất một số thực A sao cho

$$s(D,f)\le A\le S(D,f)$$

với mọi phân hoạch D. Số A là gì? Số A chính là diện tích phần dưới đồ thị, vì đó là giá trị duy nhất lớn hơn hoặc bằng tổng diện tích các hình chữ nhật dưới đồ thị, đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng tổng diện tích các hình chữ nhật “trên đồ thị”.

Định nghĩa tích phân

Từ mục trước ta biết rằng với hàm số f liên tục trên đoạn [a; b], có s(D, f) ≤ A ≤ S(D, f) với mọi phân hoạch D. Số A này gọi là tích phân của hàm số f từ a đến b. Ta kí hiệu

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

Công thức Newton – Leibniz còn cho biết hệ thức sau:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a),$$

trong đó F là một nguyên hàm của hàm số f. Vế phải của đẳng thức đôi khi được viết như sau:

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={[F(x)]}_a^b$$

Ý nghĩa hình học của tích phân chính là diện tích phần nằm dưới đồ thị của hàm số không âm f, như đã nói. Ta đã bắt đầu với hàm số $f(x)=\sin (x)+\frac{x}{4}$, vậy ta thử tính diện tích trên đoạn [0; 10]. Ta tính tích phân

$${\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x$$

Trước hết tìm nguyên hàm của hàm số f:

$$\begin{array}{rcl}\int \sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& \int \sin (x)\mathrm{d}x+\int \frac{x}{4}\mathrm{d}x\\ & =& -\cos (x)+c_1+\frac{x^2}{8}+c_2\\ & =& \frac{x^2}{8}-\cos (x)+c_1+c_2\end{array}$$

Vậy nguyên hàm F có dạng $F(x)=\frac{x^2}{8}-\cos (x)+c$. Ta viết tích phân ra:

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{10}\sin (x)+\frac{x}{4}\mathrm{d}x& =& F(10)-F(0)\\ & =& \frac{{10}^2}{8}-\cos (10)+c-(\frac{0^2}{8}-\cos (0)+c)\\ & =& \frac{100}{8}-\cos (10)+\cos (0)+c-c\\ & \approx & 12,5+\mathrm{0,839}+1\\ & \approx & \mathrm{14,339}\end{array}$$

Diện tích gần đúng của phần dưới đồ thị trên đoạn [0; 10] là 14,339.