Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình bậc nhất là phương trình có thể biến đổi về dạng ax + b = 0, trong đó a ≠ 0. Một ví dụ cụ thể: 2x + 4 = 0. Nghiệm của phương trình này là số −2, điều này có thể suy luận khá dễ. Nhưng nếu các số lớn hơn một chút thì việc suy luận không còn đơn giản như vậy, nên cần một cách làm cụ thể hơn.

Dạng tổng quát của phương trình bậc nhất

Nói chính xác hơn, đó là phương trình một ẩn x có thể đưa về dạng ax + b = 0, trong đó a ≠ 0, bằng các phép biến đổi tương đương. Trong phương trình, ẩn không được nâng lên luỹ thừa, không nằm dưới dấu căn,… Phương trình có ẩn ở mẫu chỉ đưa được về dạng này với điều kiện mẫu khác 0. Vì vậy ta xét chúng riêng, xem phương trình bậc nhất có ẩn ở mẫu. Hãy xem một số ví dụ về phương trình bậc nhất:

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

Như vậy, phương trình bậc nhất có thể có nhiều hình thức khác nhau. Để giải thuận tiện, trước hết cần đưa chúng về một dạng chung, gọi là dạng tổng quát:

$$ax+b=0,$$

trong đó x là ẩn, còn a và b là các số thực tuỳ ý, gọi là các hệ số của phương trình. Hệ số a phải khác 0, tức là a ≠ 0. Biểu thức ax gọi là hạng tử bậc nhất, b gọi là hệ số tự do.

Khi giải phương trình bậc nhất, không thể thiếu các phép biến đổi tương đương, tức là các phép biến đổi không làm thay đổi nghiệm của phương trình. Không có chúng thì không giải được các phương trình phức tạp hơn. Có thể đưa phương trình về dạng tổng quát bằng cách biến đổi chính các biểu thức trong phương trình, hoặc bằng các phép biến đổi tương đương phương trình.

Trở lại các ví dụ trên. Phương trình thứ nhất, 2x + 7 = 0, đã ở dạng tổng quát, nên ta thấy ngay các hệ số a = 2 và b = 7. Với phương trình thứ hai, x − 2 = 74, thì không dễ như vậy. Bằng phép biến đổi tương đương, ta cộng số −74 vào hai vế (tức là trừ hai vế cho 74) và được x − 76 = 0. Đây đã là dạng tổng quát, với các hệ số a = 1 và b = −76.

Phương trình thứ ba còn xa dạng tổng quát, nhưng cũng giải quyết được. Trước hết ta “tạo ra” số 0 ở vế phải: cộng 12x vào hai vế. Vế phải trở thành 0, vì (−12x) + 12x = 0. Phương trình có dạng:

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Bây giờ chỉ còn bỏ ngoặc và cộng các hạng tử chứa x.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Phương trình bậc nhất này ở dạng tổng quát, với các hệ số a = −8 và b = 3.

Ở phương trình cuối cùng, cần khử mẫu của các phân thức. Vì vậy ta nhân hai vế với 72, là số chia hết cho tất cả các mẫu:

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

Rút gọn các phân thức:

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

Cộng ở vế trái, nhân ở vế phải:

$$39x=405x+72$$

Còn bước cuối cùng: trừ hai vế cho 405x và 72, ta được phương trình ở dạng tổng quát:

$$-366x-72=0$$

Vậy các hệ số là a = −366 và b = −72.

Cách giải phương trình bậc nhất

Khi phương trình bậc nhất đã ở dạng tổng quát thì giải rất dễ. Xét ví dụ: 3x − 18 = 0. Phải lấy số nào trừ đi 18 để được 0? Chính là số 18. Vậy để biểu thức 3x − 18 bằng 0 thì biểu thức 3x phải bằng 18, khi đó ta có 18 − 18 = 0. Khi nào 3x bằng 18? Khi và chỉ khi x = 6, vì 3 · 6 = 18.

Từ đó suy ra cách làm tổng quát thế nào? Trước hết cần biết hạng tử bậc nhất ax phải bằng bao nhiêu. Muốn vậy, ta chuyển hệ số tự do sang vế phải, tức là cộng −b vào hai vế. Ta được phương trình ax + b − b = −b, tức là ax = −b. Với ví dụ trên, ta được 3x − 18 + 18 = 18, tức là 3x = 18. Đừng quên rằng hệ số b ở đây là b = −18, nên cộng −b nghĩa là cộng −(−18), tức là +18.

Phương trình có dạng ax = −b. Làm thế nào để tìm trực tiếp x? Trong ví dụ, ta tìm x sao cho nhân với 3 thì được 18. Thực chất ta đã làm gì? Ta đã chia 18/3 = 6. Tức là lấy biểu thức ở vế phải (−b) chia cho a, trong ví dụ là chia cho 3. Vậy từ ax = −b ta được

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Toàn bộ cách làm áp dụng cho ví dụ đầu tiên như sau:

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/:3\\ x& =& 6\end{array}$$

Ý nghĩa hình học

Khi đưa phương trình bậc nhất về dạng tổng quát, vế trái là một hàm số bậc nhất. Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng. Vì dạng tổng quát của phương trình bậc nhất là ax + b = 0 nên nghiệm của phương trình là hoành độ của các điểm mà đường thẳng (đồ thị hàm số bậc nhất) cắt trục hoành (trục hoành cũng chính là đồ thị của hàm số f(x) = 0, tức là vế phải).

Chẳng hạn, ta đã biết nghiệm của phương trình 3x − 18 = 0 là x = 6. Điều đó có nghĩa gì? Đồ thị hàm số 3x − 18 cắt trục hoành tại điểm x = 6.

Ta thử giải phương trình 5x + 2 = 2x − 7 bằng đồ thị. Có thể làm thế nào? Có thể đưa phương trình về dạng tổng quát: cộng −2x vào hai vế, ta được 3x + 2 = −7, rồi cộng 7: 3x + 9 = 0. Bây giờ vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y = 3x + 9 và tìm điểm nó cắt trục hoành.

Cách thứ hai là không biến đổi phương trình mà vẽ đồ thị của các hàm số ở hai vế, tức là đồ thị hàm số f(x) = 5x + 2 và g(x) = 2x − 7.

Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm, kí hiệu là A. Hoành độ của điểm A bằng bao nhiêu? Vẫn là x = −3. Như vậy, nghiệm của phương trình 5x + 2 = 2x − 7 theo cách giải bằng đồ thị là hoành độ giao điểm của đồ thị các hàm số ở vế trái và vế phải.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1: Giải phương trình 7x − 14 = 0. Trường hợp này đơn giản, phương trình đã ở dạng tổng quát, chỉ cần áp dụng cách làm trên:

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/:7\\ x& =& 2\end{array}$$

Ví dụ 2: Giải phương trình 2x + 10 = 0. Phương trình cũng đã ở dạng tổng quát, chỉ cần chú ý rằng b dương nên sau khi biến đổi, vế phải là một số âm:

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/:2\\ x& =& -5\end{array}$$

Ví dụ 3: Giải phương trình 15 − 3x = 0. Phương trình gần như đã ở dạng tổng quát, chỉ cần đưa ẩn x lên đầu. Khi đó phương trình có dạng −3x + 15 = 0. Lại chú ý rằng trước hạng tử bậc nhất có dấu trừ, điều mà các ví dụ trước chưa có. Tuy nhiên, các phép biến đổi hoàn toàn như cũ:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/:(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

Cũng có thể giải theo cách khác, dài hơn một chút. Thay vì chia ngay hai vế cho −3, trước hết nhân hai vế với −1 để bỏ cả hai dấu trừ, rồi chia hai vế cho 3:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/:3\\ x& =& 5\end{array}$$

Ví dụ 4: Giải phương trình bậc nhất

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Phương trình này phức tạp hơn một chút vì có chứa mẫu. Trước hết cần khử mẫu. Tốt nhất là nhân hai vế với bội chung nhỏ nhất của tất cả các mẫu. Có hai mẫu là 4 và 2, bội chung nhỏ nhất là 4. Nếu không muốn tính, có thể nhân hai vế với tích của tất cả các mẫu, tức là 4 · 2 = 8, nhưng không nên làm vậy vì sẽ khó hơn ở bước sau. Nhân hai vế với 4, ta khử được mẫu bằng cách rút gọn lần lượt từng phân thức:

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

Bây giờ đưa phương trình về dạng tổng quát: x − 12 = 0, từ đây thấy ngay x = 12.

Ví dụ 5 (bài toán có lời văn): Có hai anh em, Minh và Hùng. Hùng đi làm ngay sau khi tốt nghiệp THPT, còn Minh học tiếp đại học thêm 5 năm. Hùng nhận lương 10 triệu đồng mỗi tháng. Dù Minh tốt nghiệp ngành “nghỉ dưỡng học, chuyên ngành nằm võng”, anh vẫn xin được việc ở một cơ quan nhà nước với lương 14 triệu đồng mỗi tháng. Sau bao lâu thì tổng số tiền Minh kiếm được bằng tổng số tiền của Hùng? Nói rõ hơn: trong 5 năm, Hùng kiếm được 5 · 12 · 10.000.000 đồng, còn sau 5 năm Minh chưa có đồng nào. Sau bao nhiêu tháng thì hai số tiền này bằng nhau?

Từ đề bài, có thể lập phương trình bậc nhất như sau: biến x là số tháng cần tìm, trong đó x = 0 là thời điểm Minh vừa tốt nghiệp.

Trước hết, lập hàm số biểu thị thu nhập của Minh theo số tháng. Chẳng hạn, nếu muốn biết thu nhập của Minh sau 6 tháng, chỉ cần tính 14.000.000 · 6 = 84.000.000 đồng. Tổng quát, sau x tháng Minh kiếm được tất cả 14.000.000 · x đồng.

Với Hùng cũng tương tự: 10.000.000 · x, nhưng phải cộng thêm số tiền anh kiếm được trong thời gian Minh đi học. Minh học 5 năm, nên trong thời gian đó Hùng kiếm được 5 · 12 · 10.000.000 đồng. Công thức đầy đủ cho Hùng là: 5 · 12 · 10.000.000 + 10.000.000 · x.

Ta cho hai hàm số này bằng nhau, vì cần tìm x để hai khoản thu nhập bằng nhau:

$$5\cdot 12\cdot 10.000.000+10.000.000\cdot x=14.000.000\cdot x$$

Biến đổi phương trình bằng cách chuyển tất cả các hạng tử chứa x sang một vế:

$$4000000x=5\cdot 12\cdot 10.000.000$$

Cuối cùng chia hai vế cho 4.000.000:

$$x=5\cdot 12\cdot 2,5=150$$

Sau 150 tháng, hai anh em có số tiền bằng nhau. Trong thời gian Minh đi học, Hùng kiếm được 5 · 12 · 10.000.000 = 600.000.000 đồng, cộng thêm trong 150 tháng tiếp theo anh kiếm được 10.000.000 · 150 = 1.500.000.000, tổng cộng là 600.000.000 + 1.500.000.000 = 2.100.000.000 đồng. Minh chỉ làm việc trong 150 tháng đó và kiếm được 14.000.000 · 150 = 2.100.000.000 đồng. Vậy sau 5 năm học và 150 tháng tiếp theo, hai người kiếm được số tiền bằng nhau.

Bài tập

Giải phương trình bậc nhất sau:

$$2\cdot (x-7)=6$$

Trước hết nhân phá ngoặc:

$$2x-14=6$$

Giữ biểu thức chứa ẩn ở vế trái, chuyển tất cả các hạng tử còn lại sang vế phải:

$$2x=20$$

… cuối cùng chia hai vế cho 2.

$$x=10$$

Giải phương trình

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

Trước hết nhân phá ngoặc:

$$9-3x+5x-10=0$$

Thu gọn các hạng tử đồng dạng, chuyển các hạng tử chứa biến sang vế trái và các hạng tử còn lại sang vế phải:

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

Cuối cùng chia hai vế cho 2:

$$x=\frac{1}{2}$$