Четна и нечетна функция

При функциите можем да определяме тяхната четност, тоест можем да определим дали функцията е четна или нечетна. В краен случай тя може да е и четна, и нечетна едновременно, но по-често не е нито четна, нито нечетна.

Четност

Функцията е четна, ако изпълнява просто правило – когато вложиш във функцията елемента x и след това противоположния елемент −x, функцията трябва да върне една и съща получена стойност. Типична четна функция е функцията f(x) = x². Ако я извикаш с аргументи 6 и −6, получаваш: f(6) = 36 и f(−6) = 36. Аргументът се различаваше само по знака, затова резултатът е един и същ.

Формалното определение би могло да изглежда така. Ако функцията f е четна, тя трябва да изпълнява

$$\mathrm{\forall }x\in D(f):f(x)=f(-x)$$

За всички x от дефиниционното множество на функцията трябва да е в сила, че дори когато извикаме функцията с противоположния аргумент, тоест −x, стойностите на функцията трябва да са равни.

Как се проявява четната функция в графиката? Ако вложим във функцията x и −x, получаваме едно и също y. Така че ако се замислим: x и −x са на оста x на еднакво разстояние от началото и имат една и съща ордината. Това означава, че графиката на четната функция е симетрична спрямо оста y. За илюстрация графиката на функцията x²:

От класическите функции четни са: косинусът, функциите от вида f(x) = x^a, където a е четно число. От първоначално нечетна функция четна функция ни прави абсолютната стойност, например f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Нечетна функция

Нечетната функция трябва да изпълнява подобни правила като четната функция. Така че функцията f е нечетна, ако изпълнява това правило:

$$\mathrm{\forall }x\in D(f):f(-x)=-f(x)$$

На практика това означава, че ако на нечетна функция принадлежи точката (a; b), тогава ѝ трябва да принадлежи и точката с противоположните координати, тоест (−a; −b). Пример за нечетна функция е функцията f(x) = x³. Ако вместо x заместим двойка, получаваме:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

Във втория израз бихме получили

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Как се проявява това в графиката? Ако на функцията трябва да принадлежи точката (a; b) и едновременно с това (−a; −b)? Когато го начертаеш, ще установиш, че такава графика ще е симетрична спрямо началото на координатната система, т.е. точката (0; 0). Графиката на функцията f(x) = x³ е показана на следващата фигура.

От класическите функции нечетни са: f(x) = x^a, където a е нечетно, f(x) = ax, където a е произволно реално число (става дума за линейна функция без свободен член). Освен това още f(x) = a/x или синусът.

Проверка за четност

Как проверяваме дали една функция е четна? По определението. Да вземем например познатата функция f(x) = x². Проверяваме по определението. То ни казва, че f(x) = f(−x). Ако функцията е четна, тя трябва да изпълнява:

$$x^2=(-x{)}^2$$

Минус x на квадрат можем според правилата за действия със степени да разпишем така:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

Минус едно на квадрат е едно, така че получаваме обратно само x².

$$x^2=1\cdot x^2$$

Четна ли е следната функция?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Заместваме в определението:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Тези дроби можем да преподредим така, че вместо да имаме абсолютна стойност за цялата дроб, да я преместим в числителя и в знаменателя.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Преобразуваме знаменателя на втората дроб, тъй като със сигурност е в сила |x| = |−x| по определението на абсолютната стойност.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Сега вече получаваме равенство.

Проверка за нечетност

Как проверяваме дали една функция е нечетна? Отново по определението. То казва, че функцията f е нечетна, ако

$$f(-x)=-f(x)$$

Да започнем с функцията f(x) = x³. Заместваме в определението:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

Лявата страна можем да я разпишем по същия начин като в предишния пример:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

Минус едно на трета степен е минус едно:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Така че имаме равенство:

$$-x^3=-x^3$$

Функцията е нечетна.

Нечетна ли е дадената функция?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Заместваме в определението:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Тук няма много какво да се преобразува, минусът в първата дроб просто го изнасяме пред цялата дроб, така че получаваме равенство:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Функцията е нечетна.

Нито четна, нито нечетна

Функцията може да не е нито четна, нито нечетна. Такива функции вероятно са мнозинството. Пример е линейната функция f(x) = x + 1. Опитваме да заместим в определението за четност:

$$x+1=-x+1$$

Изразяваме x:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

равенството не е в сила за всички x, а само за някои, така че функцията не е четна. Сега нечетността:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Това уравнение изобщо няма решение, затова функцията не е нечетна.

И четна, и нечетна

Съществува ли функция, която да е едновременно четна и нечетна? Съществува ли графика на функция, която да е симетрична спрямо оста y и едновременно с това спрямо началото? Отговорът е да. Съществува точно една функция, която е едновременно четна и нечетна, и това е константната функция f(x) = 0. Графиката на функцията точно следва оста x.

Забележка: всъщност съществуват безкрайно много такива функции, защото можем да определим функция g(x), която ще има същата формула, но ще бъде определена в друго дефиниционно множество. Например можем да имаме функцията g(x) = 0, която ще има дефиниционно множество само естествените числа. Тази функция се различава от функцията f(x), която е определена над реалните числа. Все пак формулата винаги ще е една и съща.

Съставни функции

Интересна ситуация настъпва, ако имаме две функции, които са нечетни или четни, и се опитаме да ги съберем, умножим и т.н. Например резултатът от събирането на две четни функции отново е четна функция. Правилата и комбинациите са много.