Експоненциален растеж

Една стара легенда разказва, че изобретателят на шаха поискал от владетеля скромна награда: на първото поле на шахматната дъска едно оризово зърно, на второто две, на третото четири и на всяко следващо поле два пъти повече, отколкото на предишното. Владетелят се засмял колко малко иска мъдрецът и наредил да донесат един чувал ориз. Засмял се обаче преждевременно.

На първото поле има 1 зърно, тоест 2⁰. На второто 2¹ = 2, на третото 2² = 4, на четвъртото 2³ = 8. Степенният показател е с единица по-малък от номера на полето, така че на последното, 64-то поле лежат

$$2^{63}=9223372036854775808$$

зърна. Това е над девет квинтилиона. Само че това е само последното поле, а нас ни интересува цялата дъска. Ако съберем всички полета, получаваме

$$1+2+4+\dots +2^{63}=2^{64}-1,$$

тоест точно 18 446 744 073 709 551 615 зърна.

Защо точно 2⁶⁴ − 1? Провери го на първите полета: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Сборът всеки път е с единица по-малък от броя на зърната на следващото поле.

Едно зърно обелен ориз тежи около 20 милиграма, хиляда зърна значи около 20 грама. Ще пресметнем колко би тежала цялата шахматна дъска:

$$(2^{64}-1)\cdot 20\text{mg}\approx 369000000000\text{t}$$

Цялата шахматна дъска би тежала около 369 милиарда тона ориз. Целият свят за сравнение отглежда за година около 540 милиона тона обелен ориз. За колко години световна реколта би стигнало? Частното на двете числа:

$$\frac{369000000000}{540000000}\approx 683$$

Владетелят би трябвало да предаде на изобретателя целия ориз, който човечеството прибира за повече от шестстотин години. Най-интересно е колко дълго това изглежда невинно: цялата първа половина на шахматната дъска, 32 полета, дава общо 2³² − 1, тоест около 4,3 милиарда зърна. Това е около 86 тона, няколко камиона. Останалото се изсипва едва върху втората половина на дъската.

Събиране срещу умножение

Ако нещо расте така, че във всяка стъпка към него се прибавя едно и също число, говорим за линеен растеж. Ако пък във всяка стъпка то се умножава по едно и също число, това е експоненциален растеж. На шахматната дъска беше умножение по две.

Родителите предлагат на Георги две възможности как да му увеличават джобните пари. Сега той получава 30 евро месечно и или всеки месец му ги увеличават с 10 евро, или с 10%. Десет евро, или само десет процента от тридесет, тоест три? Изборът изглежда ясен.

През първия месец наистина е така. При събирането Георги получава 30 + 10 = 40 евро, при умножението 30 · 1,1 = 33 евро. След половин година събирането дава 90 евро, а умножението около 53 евро. Десет процента обаче се пресмятат от все по-голяма сума, така че приращенията растат, докато десетте евро си остават десет евро. През 23-тия месец умножението изпреварва събирането и оттогава само се отдалечава от него: след три години Георги би получавал при събирането 390 евро, а при умножението над 920 евро. А след четири години 510 евро срещу около 2910 евро месечно.

Синята права за известно време води, но червената крива се издига все по-стръмно. Това важи общо: експоненциалният растеж рано или късно изпреварва всеки линеен, въпросът е само кога.

Целият експоненциален растеж се побира в една формула

$$N=N_0\cdot q^t,$$

където N₀ е началната стойност, q е числото, с което се умножава за един период, а t е броят на изминалите периоди. При Георги N₀ = 30 и q = 1,1, защото да прибавиш 10% означава да умножиш по числото 1,1. След 36 месеца получаваме

$$N=30\cdot 1,1^{36}\approx 927\text{евро}.$$

На шахматната дъска N₀ = 1 и q = 2. Променливата t стои в степенния показател, така че става дума за показателна функция. Ще намериш там и бактерии, които се делят на две.

За колко време се удвоява?

При експоненциалния растеж е удобно да се питаме за колко време стойността се удвоява. Това време на удвояване не се променя, независимо кога започнем. Ако нещо се удвоява за десет години, за още десет години се удвоява отново и за двайсет години е четири пъти повече.

За оценка служи една проста подсказка, правилото на 70: ако нещо расте с p процента за период, удвоява се приблизително за

$$\frac{70}{p}$$

периода. Ако цените в магазина растат всяка година със 7%, ще се удвоят приблизително за 70:7 = 10 години. Кифла, която днес струва 0,50 евро, след десет години би струвала почти 1 евро. Парите, вложени с лихва 3% годишно, пък се удвояват за около 70:3 ≈ 23 години. Лихвите се пресмятат и от по-ранните лихви и затова става дума за сложна лихва, тоест отново за експоненциален растеж.

Защо точно седемдесет? Точното време на удвояване намираме с помощта на логаритъм. Търсим t, което решава показателното уравнение

$$1,{07}^t=2.$$

Логаритмуваме уравнението, с което степенният показател слиза пред логаритъма:

$$t\cdot \lg 1,07=\lg 2$$

Сега вече стига да разделим:

$$t=\frac{\lg 2}{\lg 1,07}\approx \frac{\mathrm{0,301}}{\mathrm{0,029}4}\approx 10,2$$

Така цените биха се удвоили за малко под десет и четвърт години, правилото на 70 е уцелило почти точно. Числото 70 идва от това, че частното на два логаритъма е едно и също, независимо при каква основа вземем логаритъма. С натурален логаритъм ln и общ растеж с p процента получаваме

$$t=\frac{\ln 2}{\ln (1+\frac{p}{100})}\approx \frac{\mathrm{0,693}}{\frac{p}{100}}=\frac{69,3}{p},$$

защото за малки проценти $\ln (1+\frac{p}{100})$ е приблизително $\frac{p}{100}$. Вместо 69,3 се взема 70, защото се дели по-лесно. Затова правилото работи добре за единици проценти, при десетки проценти вече малко греши.

Водни лилии в езерце

Преди да четеш нататък, опитай да разгадаеш тази главоблъсканица самостоятелно. В езерце растат водни лилии и всеки ден те са два пъти повече, отколкото предишния ден. За 30 дни покриват цялото езерце. На кой ден е била покрита половината от езерцето?

Напрашва се отговорът петнайсетият ден, нали петнайсет е половината от трийсет. Само че броят на лилиите се удвоява всеки ден, така че когато на 30-ия ден е покрито цялото езерце, в предходния ден то е трябвало да е покрито наполовина. Половината от езерцето е била под лилии на 29-ия ден.

Ако се върнем във времето още по-назад: на 28-ия ден е била покрита една четвърт, на 27-ия една осма, на 26-ия една шестнайсета, на 25-ия само около 3% от повърхността. Който отиде да погледне езерцето на 25-ия ден, би видял почти чиста вода и би заключил, че има много време. А само след пет дни езерцето е изцяло обрасло.

Точно това е коварното при експоненциалния растеж. През по-голямата част от времето изглежда невинен, а когато вече се вижда с просто око, остават само няколко удвоявания до края.

Епидемия

Със същото темпо може да се разпространява и болест. Да кажем, че в града днес има 100 заразени и броят на случаите се удвоява на всеки три дни. За 30 дни така се удвоява десет пъти:

$$100\cdot 2^{10}=100\cdot 1024=102400$$

От сто болни за месец стават над сто хиляди. Затова епидемиолозите настояват за мерки в момент, когато числата са още малки и на хората им се струва, че нищо не се случва. Всъщност сме при езерцето на 25-ия ден.

Колко бързо се разпространява болестта, описва репродуктивното число R. Опростено: колко други души средно заразява един болен. Ако R = 2, всеки заразява двама други, тези двама заразяват четирима и всяко „поколение“ болни е два пъти по-многобройно. Ако едно поколение трае около три дни, връщаме се точно към примера по-горе. Ако успеем да свалим R под единица, например на 0,8, броят на болните във всяко поколение се умножава по число, по-малко от едно, и епидемията затихва. От 100 заразени в десетото поколение се заразяват само около

$$100\cdot 0,8^{10}\approx 11$$

души.

Разликата между R = 0,8 и R = 2 изглежда малка. След десет поколения от нея обаче става пропаст между единайсет и сто и две хиляди болни.

Сгъни лист хартия четирийсет и два пъти

Вземи лист хартия, дебел около една десета милиметър. Сгъни го наполовина и имаш два слоя, тоест две десети милиметър. Сгъни го отново и имаш четири слоя. Всяко сгъване удвоява дебелината. Колко дебела би била хартията след 42 сгъвания?

$$0,1\text{mm}\cdot 2^{42}\approx 440000000000\text{mm}=440000\text{km}$$

Луната е на средно разстояние от Земята около 384 000 km. Хартия, сгъната четирийсет и два пъти, би стигнала до нея и още малко би стърчала.

Не е нужно да го пробваш, така или иначе повече от седем пъти лист хартия с ръце не можеш да сгънеш. След седем сгъвания има 128 слоя и е дебел малко под 1,3 cm, при това става все по-малък и по-корав. Рекордът е тринайсет сгъвания и за него е била нужна около 16 km дълга лента тоалетна хартия.

Защо това число ни се струва абсурдно? Интуицията се справя със събирането. Когато си представим 42 стъпки, си представяме 42 еднакви стъпки една до друга. Тук обаче всяка стъпка добавя толкова, колкото е дебела цялата хартия досега. След десет сгъвания хартията е дебела около 10 cm, след двайсет над 100 m, а след трийсет вече стига на 107 km височина. А последните дванайсет сгъвания, с които хартията стига до Луната, са просто още дванайсет удвоявания.

Не може да трае вечно

Ако лилиите се размножаваха със същото темпо и по-нататък, на 31-вия ден щяха да покрият две езерца, на 40-ия ден хиляда езерца. Разбира се, така не става. Езерцето има само ограничена повърхност, бактериите имат ограничено количество храна и болестта няма кого да зарази, когато вече повечето хора са я преболедували. В природата експоненциалният растеж трае само до момента, когато започне да не достига място или ресурси.

Тогава растежът се забавя и стойността се приближава към таван, който средата може да изхрани. Графиката на такъв растеж изглежда като издължена буква S, затова му се казва S-крива, а научното наименование е логистичен растеж.

В началото двете криви почти не се различават. Ресурсите са достатъчни, така че нищо не спира растежа и S-кривата расте експоненциално. Още преди средата на пътя тя започва да се отклонява от експонентата, по средата до тавана K расте най-бързо и след това се огъва и към тавана се приближава само бавно. Проблемът е, че от началната част на графиката не можеш да разбереш дали гледаш експонента, или S-крива. Това става ясно едва по-късно.

По същия образец стойността може и да намалява. Достатъчно е стойността във всеки период да се умножава по число, по-малко от едно, както при епидемията с R = 0,8. Учебниковият пример е радиоактивният разпад. Вместо време на удвояване тук се говори за период на полуразпад, тоест времето, за което се разпада половината от веществото. Радиоактивният цезий 137 има период на полуразпад около 30 години. След 30 години от него остава половината, след 60 години една четвърт, след 90 години една осма. Математически погледнато, само се преполовява и преполовява и до нула никога не пада. Веществото обаче се състои от атоми и затова от един грам цезий след около две хиляди години се разпада и последният от тях.

Виж също

• Показателна функция
• Логаритми
• Сложна лихва