Какво е функция

Функцията е абсолютно основно понятие в математиката и трябва да я разбираш напълно. Математиката е пронизана от функции и почти всеки символ, който познаваш от основното училище, всъщност представлява функция.

Аналогия с функцията

Виждал ли си някога кафеавтомат? Какво е типично за такъв автомат? Пускаш в него някакви монети и той ти дава някакво кафе. Ако пуснеш повече монети, автоматът ще отговори с по-хубаво кафе.

Функцията е такъв математически кафеавтомат. Пускаш във функцията някакъв вход (монети) и функцията връща някакъв изход (кафе). Това е целият основен принцип на функцията.

Задачата на функцията е да приеме някакъв вход, някакво число, да направи нещо с това число вътре в себе си, да го промени и след това да върне новото число на изхода.

Основни понятия

Всяка функция има име, което я означава. Най-често срещаното име на функция е буквата „f“. За функцията ни трябва правило, което да определя как тя да работи – как автоматът да свари кафето. Като начало можем да си представим функцията като таблица с две колони. В първата колона ще бъде нашият вход (в автомата това би била стойността на монетите), а във втората – изходът на функцията (кафето).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{вход}& \text{изход}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Виждаме, че изходът винаги е два пъти по-голям от входа, но това съвсем не е задължително правило. Може да имаме и такава таблица:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{вход}& \text{изход}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Засега обаче ни стига първата, правилната таблица. Можем да кажем, че тази таблица определя функцията f. Какво прави функцията? Ние подаваме на функцията някакъв вход, тя намира този вход в първата колона на таблицата и връща изхода от същия ред. Ако търсим изхода на функцията за числото три, бихме го записали така:

$$f(3)=6$$

Намерихме реда, на който входът е равен на три, и на същия ред изходът е равен на шест. Освен това би важало f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 и f(5) = 10. Да записваме всички функции с таблици може и да изглежда прегледно за няколко числа, но когато работим с повече числа, това е крайно неудобно. Затова ни трябва друга форма на запис. Можем да зададем функцията с формула. В нашата таблица изходът беше два пъти по-голям от входа. С формула това бихме записали така:

$$f(x)=2\cdot x$$

Това е проста линейна функция, но засега това няма значение. Какво ни казва този израз? Буквата f е името на функцията, това вече го знаем. Изразът в скобите, тоест буквата x, означава параметъра на функцията. В аналогията с автомата това би било понятието „стойност на пуснатите монети“. Параметърът на функцията е променлива, в която се записва стойността, която сме подали. Ако пуснем в автомата (във функцията) двайсет евро, във функцията би било x = 20. И нататък автоматът, тоест функцията, ще работи с тази стойност по свой начин.

След това следва знакът за равенство и зад него е самото правило, което ни указва какво да се прави със зададената стойност x. Виждаме, че функцията умножава подадената стойност x по две. Това е всичко.

Още примери за функции

От дясната страна може да стои практически всеки математически израз. Може да има и други функции, може да има условия, които уточняват определението. Бихме могли да зададем някаква функция например словесно така: „ако на входа е четно число, върни нула, ако на входа е нечетно число, върни единица“. Това ще е някаква функция, която връща само единица и нула, но все пак ще е функция.

Важно е да разбереш, че функцията може да се зададе почти по какъвто и да е начин. И функцията, разбира се, си има правила, но те сега не са толкова важни – едно от правилата освен това е споменато още в следващия раздел. Определението на функцията не е нужно да има на пръв поглед някакъв смисъл, не е нужно да има някакъв ред. Функцията спокойно може винаги да връща двойната стойност, освен когато на входа е седем. Тогава връща девет. Това вероятно е пълна безсмислица, но и това е функция.

Функция можем да наречем и голяма част от операциите, които правим извън математиката. Например ако преброиш колко букви има думата „мамут“, можем да кажем, че си извикал функция с име „дължина на думата“ и си ѝ предал като аргумент думата „мамут“. Функцията е преброила буквите в думата и е върнала на изхода числото пет.

Трябва ли да изчислиш каква сложна лихва ще плащаш по заем или по ипотека? И това може да го свърши функция. Просто определяш функция, която изчислява размера на лихвата например след десет години. Трябва ли да разбереш колко километра още ще измине колата с определен брой литри бензин? Определи си функция! Ако колата изминава средно например 11 километра на литър бензин, функцията, която пресмята колко километра още ще изминем, можем да определим така:

$$\text{път}(x)=11\cdot x$$

Ако ни остават само 17 литра бензин, пресмятаме разстоянието, като извикаме функцията така:

$$\text{път}(17)=11\cdot 17=187$$

Функция е просто всичко, което ни връща някакво число за някакъв вход. Върни разстоянието по права линия от Русе до някакъв град, върни дължината на най-дългата песен в зададен албум, върни броя на космите по главата на зададен човек, върни броя на краката на подаденото животно и т.н.

Основно свойство на функцията

Изключително важно условие за функцията е – ако се върнем към таблицата – в първата колона с входа да не се повтаря нито една стойност два пъти. Ако таблицата изглеждаше така:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{вход}& \text{изход}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… тогава не бихме могли да кажем какво трябва да върне функцията, ако ѝ подадем единица:

$$f(1)=?$$

Функцията трябва да е ясно определена, не може да се случи за един и същ вход тя да върне два различни резултата. Това просто не става. Изискваме функцията със същия вход винаги да връща и същия изход. Внимавай, че това изискване не се отнася за втората колона, за изхода. Изходите спокойно могат да са еднакви, това не ни пречи. Тази таблица би била валидна:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{вход}& \text{изход}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Пресмятане на стойност на функция

Вече знаем как се нарича всяка част от функцията и приблизително как да определим функция. Сега стъпка по стъпка ще обясним как протича пресмятането на стойност на функция. Имаме функцията f(x) = 2x. Какво ще се случи, ако пуснем във функцията тройка? Ако искаме да пуснем във функцията тройка, това за нас означава да заместим параметъра на функцията с числото три. Аргумент на функцията е тройката, така че заместваме навсякъде x с тройка:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Вече виждаме, че функцията ще върне шест, също както таблицата преди малко. Тя обаче се ограничаваше само до пет числа, а нашето ново определение може да поеме и други числа:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Този процес, при който вместо променливата x заместваме конкретни стойности, наричаме пресмятане на стойност на функция или извикване на функция, евентуално прилагане на функция. Така че ако кажем, че „извикваме функцията f с аргумент 5“, искаме да пресметнем стойността f(5), което в нашия случай ще бъде f(5) = 2 · 5 = 10.

Още две понятия за запомняне. Това, с което извикваме функцията (това, което заместваме вместо x), се нарича аргумент на функцията. Може да изглежда малко объркващо, но ако имаме функцията f(x) и я извикаме със стойност три f(3), тогава x е параметър на функцията, а 3 е аргумент на функцията. Аргументът е самата стойност, с която извикваме функцията. Параметърът е първоначалната променлива, с която е определена функцията. Това е по-скоро технически детайл.

Другото понятие е стойност на функцията, тоест стойността, която функцията връща на изхода. Предишната функция при извикване с числото три върна числото шест. Числото шест е в този случай стойността на функцията. С цяло изречение бихме казали „функцията f има в точката три стойност шест“. Под „точка“ в този контекст обикновено се разбира аргументът на функцията.

Функциите в обичайната математика

В обичайната математика се срещат множество функции, които имат много специален начин на запис, така че дори не изглежда, че са функции. Например абсолютната стойност не е нищо друго освен функция. На входа взема някакво число, а на изхода връща или същото число, или числото с противоположен знак.

Със сигурност познаваш символа за корен: $\sqrt{}$. Това също е функция. На входа взема някакъв аргумент, а на изхода връща квадратния му корен. По подобен начин и втората степен x² е функция. На входа взема число, а на изхода връща втората степен на това число.

Доста е важно да осъзнаеш, че повечето подобни магически символи всъщност не са нищо по-сложно от някаква обикновена функция. Не гледай на символа $\sqrt{}$ като на странна извита фигурка, гледай на този символ като на функция.

Защото особено за начинаещия може да е объркващ израз, който съдържа куп математически символи, с които горкият начинаещ наполовина не знае как да се оправи, а всъщност става дума просто за няколко съставни функции. Да вземем за помощ този пример:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Когато математически несведущ човек погледне това, ще се почеше по главата и няма да има представа какво да прави с него. А всъщност в този израз се съдържат цели четири доста прости функции, които последователно се прилагат към променливата x. Може да се разпише с помощта на именувани и вложени функции така:

$$\text{факториел}(\text{корен}(\text{abs}(\text{на2}(x))))$$

Записът е по-дълъг, но за този, който не се ориентира в символите, вероятно е по-прегледен. Същевременно е напълно ясна и последователността, в която функциите ще се извикват една след друга.

Обобщение на записа на функция

Функцията има име, което може да бъде по принцип всичко. Най-често обща функция се именува като f. Всяка функция има определен брой параметри, които записваме в кръгли скоби след името. Ако нашата функция f имаше два параметъра, бихме го записали така: f(x, y) или f(a, b). Как се наричат параметрите, по принцип няма значение.

Някои често използвани функции имат собствен символ, например коренът има символ $\sqrt{}$. Освен това sin или sin(x) е функцията синус, |x| е функцията абсолютна стойност, а x! е функцията факториел.

Ако функцията има един параметър, понякога пропускаме скобите, което понякога може да направи записа по-ясен, а понякога – не. Така че sin(x) и sin x са валидни записи на функцията синус.

Когато се говори за параметъра на функцията, се има предвид буквата x в записа f(x). Аргументът е стойността, с която извикваме функцията, която заместваме вместо x. Често тези две понятия се сливат. Стойността на функцията е стойността, която получаваме след извикването ѝ. Записваме я просто като име на функцията, скоби и аргумент. Ако имаме функцията f(x) = 2x и вместо параметъра x заместим аргумента x = 4, ще кажем, че сме извикали функцията с аргумент x = 4 и получената стойност на функцията f(4) е равна на осем.