Дробно-линейна функция

Дробно-линейна функция е функция, която има в числителя и в знаменателя линейна функция:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

Най-простата дробно-линейна функция е $y=\frac{k}{x}$. Може би я познаваш от основното училище като обратна пропорционалност от тройното правило. От София до Перник е приблизително 30 километра. Ако пътуваш с 30 km/h, ще си там след един час, при 60 km/h след половин час, а с колело с 15 km/h ще пристигнеш след два часа. Двойно по-висока скорост – наполовина по-кратко време. Времето за пътуване в часове е следователно

$$t=\frac{30}{v},$$

където v е скоростта в километри за час. А това е точно функцията $y=\frac{k}{x}$ с k = 30.

Графиката на дробно-линейната функция е хипербола, и то равностранна, тоест с асимптоти, перпендикулярни една на друга. За разлика от чертежите в съответната статия, тук е завъртяна така, че не се доближава до пресичащи се наклонени прави, а до хоризонтална и вертикална. Така изглежда например графиката на функцията $y=\frac{x-1}{x-2}$, асимптотите са сините прекъснати прави x = 2 и y = 1:

Към формулата се добавят още две условия, c ≠ 0 и ad − bc ≠ 0. Ако беше c = 0, в знаменателя нямаше да има никакво x и щяхме да получим обикновена линейна функция. При ad − bc = 0 пък числителят е кратен на знаменателя, дробта се съкращава и остава константна функция.

Функцията k върху x

Започваме с функцията $y=\frac{k}{x}$. Вместо x не можем да заместим нула, защото на нула не можем да делим, и дефиниционното множество затова е D(f) = ℝ ∖ {0}. Нула обаче никога не получаваме и като резултат, дроб с ненулев числител не може да е нула. Затова и множеството от стойности е ℝ ∖ {0}.

Нека опитаме да заместим няколко числа във функцията $y=\frac{2}{x}$. За x = 1 получаваме y = 2, за x = 2 получаваме y = 1, а за x = 4 вече само $y=\frac{1}{2}$. Колкото по-голямо е x, толкова по-плътно графиката се долепва до оста x, без никога да я докосне. Обратно, колкото по-близо е x до нула, толкова по-голямо y получаваме: за $x=\frac{1}{10}$ получаваме y = 20. Следователно графиката се стрелва нагоре покрай оста y. При отрицателните x е същото, само с противоположен знак.

Червената крива на чертежа принадлежи на функцията $y=\frac{2}{x}$, синята – на функцията $y=-\frac{2}{x}$. Оранжевите точки отговарят на стойностите, които току-що пресметнахме. За положението на клоновете решава знакът на числото k:

• при k>0 клоновете на хиперболата лежат в I и III квадрант,
• при k<0 лежат във II и IV квадрант.

На осите x и y, към които графиката се приближава, казваме асимптоти.

Сега обаче внимавай за капана, в който пада почти всеки. Функцията $y=\frac{2}{x}$ е намаляваща, нали? Всеки червен клон поотделно наистина намалява. Само че опитай с x₁ = −1 и x₂ = 1. В сила е x₁<x₂ и въпреки това f(−1) = −2 е по-малко от f(1) = 2. Функцията следователно не е намаляваща в цялото D(f), тя е намаляваща отделно в интервала (−∞; 0) и отделно в интервала (0; +∞). Който напише, че е намаляваща в ℝ ∖ {0}, греши.

Изместена графика и преобразуване на общия вид

Графиката на функцията $y=\frac{k}{x}$ можем да я изместваме също както параболата при квадратната функция. Функцията

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

има същата графика като $y=\frac{k}{x}$, само изместена с m надясно и с n нагоре. Внимавай със знака: в знаменателя е x − m, така че $\frac{k}{x-3}$ се измества с три надясно, не наляво. Заедно с графиката се изместват и асимптотите, така че вече не са осите, а правите x = m и y = n. Вертикалната асимптота лежи там, където в знаменателя има нула. Когато x се приближава към числото m, знаменателят е мъничък, а дробта огромна, така че графиката хуква нагоре или надолу. Хоризонталната асимптота лежи на височината, към която се приближават стойностите на функцията, когато x е много далеч от нулата, и от положителната, и от отрицателната страна. Дробта $\frac{k}{x-m}$ е тогава почти нула и остава само n.

Общият вид $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ обаче обикновено не е записан така. Ще покажем преобразуване на функцията

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

В знаменателя е x − 1 и затова ще се опитаме същия израз да го получим и в числителя. Два пъти x − 1 е 2x − 2 и за да получим от това числител 2x + 1, трябва да прибавим още три:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Заместваме в дробта:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Дробта разделяме на сбор от две:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

В първата дроб съкращаваме x − 1:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

До същия резултат стигаме и чрез деление на многочлени: (2x + 1):(x − 1) дава 2 с остатък 3. От резултата лесно отчитаме m = 1, n = 2 и k = 3. Асимптотите са правите x = 1 и y = 2. Тъй като k е положително, клоновете спрямо асимптотите лежат горе вдясно и долу вляво, подобно на $y=\frac{2}{x}$.

Дефиниционното множество определяме по знаменателя, който не бива да е нула, тоест x ≠ 1. Стойността 2 функцията пък никога не приема, защото дробта $\frac{3}{x-1}$ не може да е нула:

$$D(f)=\mathbb{R}\setminus \{1\}$$

а множеството от стойности е ℝ ∖ {2}.

Остават пресечните точки с осите. В пресечната точка с оста x е y = 0 и дробта е нула само тогава, когато е нула числителят:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Пресечната точка с оста y намираме, като вместо x заместим нула:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

Графиката пресича оста x в точката $(-\frac{1}{2};0)$ и оста y в точката (0; −1). И двете пресечни точки са на чертежа в оранжево, асимптотите в сиво прекъснато:

Забележи, че пресечната точка с оста y излиза и от преобразувания вид: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Съвпада.