Дефиниционно множество на функция

Дефиниционното множество на функцията са всички допустими стойности, които можем да заместим във функцията f(x) вместо аргумента x, така че дадената функция да има смисъл.

Какво е дефиниционно множество на функция

Прост пример може да бъде функцията f(x) = 1/x. Дефиниционното множество е множеството на всички допустими стойности, които, когато заместим във функцията 1/x, дават валиден израз.

За да знаем какво е „валиден израз“, трябва да познаваме свойствата на функциите и операциите. В нашата функция делим на променливата x, променливата x е в знаменателя на дробта. На какви стойности можем да делим? На всички, освен на нула. На нула не можем да делим, също така нулата не бива да е в знаменателя на дроб. Друго ограничение делението няма.

Затова можем да заместим вместо x всяко реално число освен нулата. Дефиниционното множество е равно на: D(f) = ℝ ∖ {0}. Дефиниционното множество обикновено записваме с буквата D и в скобите записваме функцията, чието дефиниционно множество пресмятаме.

В този момент пресметнахме най-голямото дефиниционно множество. Но тъй като определихме дефиниционното множество като множество от стойности, които можем да заместим вместо x, е в сила, че и всяко негово подмножество отново ще е дефиниционно множество. Понякога ни е удобно да ограничим функцията само до някои x. Например в редиците се ограничаваме само до естествените числа, в тригонометрията често се работи само с интервала [0; 2π].

Все пак, ако имаме условие на задача, в която трябва да се намери дефиниционното множество на функция, обикновено се предполага, че трябва да намериш най-голямото възможно дефиниционно множество.

Дефиниционното множество можем да отчетем и от графиката на функцията. За пример вземаме графиката на предишната функция f(x) = 1/x.

Ако проектираш графиката върху оста x, получаваш дефиниционното множество. Ако точката x не е елемент на дефиниционното множество, тогава, ако в тази точка издигнеш вертикален перпендикуляр към оста x, тази права няма да пресече нито една точка от графиката. Виждаме, че това условие изпълнява само нулата – тя няма „нито над себе си, нито под себе си“ точка от графиката на функцията. Всички останали имат.

Намиране на дефиниционното множество

За да намериш дефиниционното множество на някаква съставна функция, трябва да знаеш дефиниционните множества на всички функции, от които тя е съставена. Иначе не става. Ако ти задам да намериш дефиниционното множество на функцията f(x) = едно(x) + две(x), няма да се справиш, защото не знаеш как са определени функциите едно и две. Ще покажем дефиниционните множества на някои елементарни функции:

• Логаритъмът има D(f) = (0; +∞).
• Коренът има D(f) = [0; +∞).
• Тангенсът има D(f) = ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ.
• Котангенсът има D(f) = ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ.
• Показателната функция има D(f) = ℝ.
• Линейната функция и квадратната функция имат D(f) = ℝ.

Ако е зададена само една функция, е съвсем просто. Просто установяваме какво дефиниционно множество има тази функция, поглеждаме аргумента и след това го заместваме подходящо в (не)равенството. Така че пример – определи дефиниционното множество на функцията lg(3x + 2). Аргументът на логаритъма трябва да е положителен, затова трябва да е в сила 3x + 2 > 0. Това е линейно неравенство, което решаваме лесно:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Дефиниционното множество са всички x, които удовлетворяват това неравенство, така че D(f) = (−2/3; +∞).

Намери дефиниционното множество на $\sqrt{2x+8}$.

Под корена не може да има отрицателно число, така че решаваме неравенството 2x + 8 ≥ 0 и получаваме резултата:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Така че D(f) = [−4; +∞).

Намери дефиниционното множество на 1/x².

В знаменателя не може да има нула, така че решаваме уравнението x² ≠ 0. То е в сила, когато x ≠ 0, така че D(f) = ℝ ∖ {0}.

Разлагане на съставни функции

При съставните функции ситуацията е малко по-сложна, защото трябва да вземаме предвид повече функции, които си влияят взаимно и последователно намаляват дефиниционното си множество. Да разгледаме например следния пример:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Тук трябва да са изпълнени две условия. Изразът под корена трябва да е по-голям или равен на нула, не бива да е отрицателен. Затова x ≥ 0. Само че коренът се намира в знаменателя на дробта, така че коренът не бива да излиза нула, иначе дробта пак няма да има смисъл. Затова засилваме предишното условие до x > 0.

По подобен начин ще постъпваме и при другите примери. Важно е обаче да определим последователността на вложените функции – трябва да установим коя функция е вътрешна и коя е външна. При предишния пример това беше очевидно – вътрешната функция беше коренът, а външната – дробта. Ако искахме да пресметнем израза на ръка, първо щяхме да извадим корен от аргумента x и чак след това да пресметнем дробта. Това е доста добра подсказка – най-вътрешната функция е тази, с която бихме започнали да пресмятаме, ако го пресмятахме на ръка. Още един пример:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\mathrm{tg}(x)){)}^3}$$

Сега можем да изберем обратния подход. Ще търсим външните функции. Външната функция „обвива“ вътрешните функции. Тук съвсем очевидно коренът от пета степен обвива всички останали функции. След това третата степен обвива резултата от логаритъма, логаритъмът обвива тангенса и накрая променливата x е обвита от тангенса. Просто. С предишния метод можем да го разгледаме така: когато знаем стойността на x, първо я прилагаме към тангенса. Той е най-вътрешната функция. Този резултат прилагаме към логаритъма – това е втората най-вътрешна функция. Този резултат пък прилагаме към степента и накрая вадим корен.

Разложи съставната функция:

$$f(x)=\sin \frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Започваме с външната функция. Тя е синусът. След това по ред е дробта, после логаритъмът, после показателната функция (представи си тази смяна на променливата: 10^a) и накрая линейната функция 2x + 3.

Разложи съставната функция:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Външната функция е показателната функция 2^a. След това е дробта и после в знаменателя на дробта е коренът и накрая линейната функция 3x.

Дефиниционно множество на съставни функции

Ако умееш да разлагаш функциите на външни и вътрешни, вече не може да ти е проблем да определиш дефиниционното множество. Ще го покажем направо с пример:

$$f(x)=\frac{47}{\sin (x)-1}$$

Започваме с дробта. При нея трябва знаменателят да е различен от нула. Записваме си го:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)-1& \ne & 0\\ \sin (x)& \ne & +1\end{array}$$

От свойствата на функцията синус знаем, че стойността 1 се достига в точката x = π/2. Тъй като това е периодична функция, получаваме множеството M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ. Това е множеството от стойности, за които знаменателят излиза равен на нула. Тези x не можем да заместим в нашата функция.

Но това не е всичко, трябва да погледнем още дефиниционното множество на функцията синус. За щастие то е равно на ℝ, така че не ни ограничава по никакъв начин. Ограничението се определя само от знаменателя на дробта. Така че D(f) = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ.