Halmazok uniója, metszete, különbsége és komplementere

A halmazok között különféle halmazműveleteket végezhetünk. A legalapvetőbbek az unió, a metszet, a különbség és a komplementer.

Halmazok uniója

A halmazok unióját a ∪ szimbólummal jelöljük, tehát az A és B halmaz unióját a szokásos módon írjuk: A ∪ B. Az A és B halmaz uniójaként új halmaz keletkezik, amely tartalmazza az A halmaz összes elemét és a B halmaz összes elemét is. Definíció:

$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

Szemléltető példa: legyen két halmazunk, A = {1, 3, 5, 7} és B = {2, 4, 6}. Az unió a következő halmaz: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Az eredményül kapott halmaz mindkét halmaz elemeit tartalmazza.

Másik példa: A = {1, 2, 3} és B = {2, 3, 4}. Az unió: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. A 2 és a 3 elem nem szerepel kétszer az eredményben, mert a halmaz egy elemet nem tartalmaz többször.

További tulajdonságok:

• A ∪ A = A: ha két azonos halmaz unióját vesszük, ismét ugyanazt a halmazt kapjuk.
• A ∪ B = B ∪ A: az unió kommutatív, a sorrend nem számít.
• A ∪ ∅ = A: az üres halmaznak nincs eleme, tehát nincs mit egyesíteni.

Halmazok metszete

Két halmaz, A és B metszeteként új halmaz keletkezik, amely azokat az elemeket tartalmazza, amelyek közösek a két halmazban. Pontosabban: az új halmaz azokat az elemeket tartalmazza, amelyek az A halmazhoz is és a B halmazhoz is tartoznak. A metszetet a ∩ szimbólummal jelöljük. Definíció:

$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

Példa: A = {1, 3, 5, 7, 9} és B = {4, 5, 6, 7}. A metszet: A ∩ B = {5, 7}. Másik példa: A = {a, b, c, d, e} és B = {f, g, h, i, j}. A metszet: A ∩ B = ∅. Ezeknek a halmazoknak nincs közös eleme, ezért a metszetük az üres halmaz.

További tulajdonságok:

• A ∩ A = A: két azonos halmaz metszeteként ismét ugyanazt a halmazt kapjuk.
• A ∩ B = B ∩ A: a metszet kommutatív, a sorrend nem számít.
• A ∩ ∅ = ∅: az üres halmaznak nincs eleme, tehát biztosan nincs közös eleme az A halmazzal.

Halmazok különbsége

A halmazok különbségét a mínusz szokásos − jelével jelöljük, vagy inkább ezzel a ferde mínuszjellel: ∖. Az A és B halmaz különbségén olyan halmazt értünk, amely az A összes elemét tartalmazza, de a B-nek egyetlen elemét sem. Egyszerűen megnézed, mely elemei közösek az első halmaznak a másodikkal, és ezeket eltávolítod. Definíció:

$$A\setminus B=\{x\in A|x\notin B\}$$

Példa: A = {1, 2, 3, 4, 5} és B = {4, 5, 6, 7, 8}. A különbség ekkor A ∖ B = {1, 2, 3}. Ezek azok az elemek, amelyek megmaradnak, ha az A halmazból eltávolítjuk mindazokat az elemeket, amelyek a B halmazban vannak. Másik példa: A = {a, b, d, e}. A különbség A ∖ A = ∅.

További tulajdonságok:

• A ∖ A = ∅: ahogyan két azonos számot kivonva egymásból nullát kapunk (pl. 5 − 5 = 0), úgy két azonos halmazt kivonva egymásból az üres halmazt kapjuk.
• A ∖ ∅ = A: az üres halmaznak nincs eleme, tehát az A halmazból nem tudunk elvenni egyetlen elemet sem.

Halmaz komplementere

Az A halmaz komplementerét sokféleképpen jelölik, de talán leggyakrabban vesszővel, A', vagy felülvonással: $\bar{A}$. Az egyszerűség kedvéért én a vesszőt fogom használni. Az A halmaz komplementerének kiszámításához tudnunk kell, melyik halmazban számítjuk a komplementert. A halmaz komplementere ugyanis mindazokat az elemeket jelenti, amelyek nincsenek az A halmazban, tehát valamiféle ellentéte az A halmaznak.

Ha alaphalmaznak az M = {1, 2, 3, …, 9, 10} halmazt vesszük, akkor az A = {2, 4, 6, 8, 10} halmaz komplementere az M-ben az A' = {1, 3, 5, 7, 9} halmaz. Ez az M összes olyan elemét tartalmazza, amely nincs benne az A-ban. Mondhatjuk, hogy az A' az M-ben egyenlő az M ∖ A halmazzal.

Ha alaphalmaznak az egész számokat vesszük, akkor a páros számok halmazának komplementere a páratlan számok halmaza. Az A = {1, 2, 3, 4} halmaz komplementere az A' = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …} halmaz lesz.

A komplementerre igaz, hogy ha kétszer alkalmazzuk, visszakapjuk az eredeti halmazt. Például az egész számokon: a páros számok komplementere a páratlan számok halmaza. A páratlan számok komplementere pedig ismét a páros számok halmaza. Tehát igaz, hogy A = A'' (az A komplementerének komplementere).