Lineære uligheder

Lineære uligheder løses med lignende omformninger, som når du regner på en almindelig lineær ligning. En lineær ulighed har som regel denne form: ax + b>0 (eventuelt mindre end, større end eller lig med og mindre end eller lig med). Nu behøver vi bare at omforme uligheden til følgende form, og så har vi resultatet: x>−b/a. Vi antager naturligvis, at a>0. For negativt a ville ulighedstegnet vende, når vi dividerer, og vi ville få x<−b/a.

Almindelig lineær ulighed

En lineær ulighed kan løses med ækvivalente omformninger af uligheder.

• Et enkelt eksempel kan se sådan her ud:

  $$3x+9>3$$

  Først flytter vi alle udtryk uden den ubekendte over på højre side. Vi lægger altså tallet −9 til uligheden, og dermed får vi uligheden:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  Derefter dividerer vi hele uligheden med tre:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Det er resultatet for hele uligheden. Uligheden har løsninger for alle x > −2.

  Uligheden kunne vi også løse grafisk. Hvis vi har uligheden 3x + 9 > 3, tegner vi graferne for to funktioner — ulighedens venstre og højre side. Vi får funktionerne f(x) = 3x + 9 og g(x) = 3. Deres grafer ser sådan her ud:

  

  Vi ser, at graferne skærer hinanden i ét punkt x₁, som har x-koordinaten netop −2. Vi ser også, at for alle x > x₁, altså for alle x fra intervallet ]−2; ∞[, ligger den røde funktion 3x + 9 »over« den blå funktion 3 (her betyder »over«, at den har en større y-koordinat). Det stemmer med det resultat, vi netop er nået frem til.

• Nogle gange er det praktisk at gange hele uligheden med minus en, hvis der er mange minusser. I dette tilfælde skal du ud over selve ulighedens værdier også vende ulighedstegnet — af større end skal du lave mindre end og omvendt:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Det gælder naturligvis hver gang, du ganger hele uligheden med et vilkårligt negativt tal. Så lige et hurtigt eksempel til:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  I første trin lægger vi som sædvanlig −2x til uligheden, så vi flytter alle udtryk med variablen over på venstre side. Samtidig trækker vi otte fra, så vi flytter konstanterne over på højre side. Så ganger vi bare hele uligheden med $-\frac{1}{5}$.

  Som illustration kan du se den grafiske løsning af uligheden, hvor vi tegner to funktioner f(x) = −3x + 8 og g(x) = 2x − 7.

  

  Vi ser, at den røde graf for funktionen −3x + 8 ligger under den blå graf for funktionen 2x − 7 hver gang x > 3.

Variabel i nævneren

En lineær ulighed, der indeholder brøker med variablen i nævneren, løses på en lidt mere indviklet måde. Et eksempel kan være uligheden:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

Uligheden kan vi ikke gange med den ubekendte i nævneren, fordi vi ikke kender dens fortegn. Hvis variablens værdi nemlig var negativ, skulle vi vende ulighedstegnet. Derfor kan vi ikke bare gange uligheden med variablen i nævneren. Det ville ikke være en ækvivalent omformning af uligheder.

Vi begynder at omforme uligheden, så vi får én brøk på venstre side og nul på højre side. Først lægger vi altså −4 til uligheden, og dermed får vi formen:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Nu skal vi omskrive udtrykket på venstre side til én brøk. Tallet −1 ganger vi derfor med brøken $\frac{x}{x}$, hvorved vi bringer begge udtryk på fælles nævner, og så lægger vi bare brøkerne sammen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Nu står vi over for spørgsmålet — hvornår er en brøk positiv? En brøk er positiv, hvis både tæller og nævner er positive, eller hvis både tæller og nævner er negative. Hvis den ene er positiv og den anden negativ, er brøken negativ. Hvis vi for eksempel har brøken $\frac{4}{3}$, er hele brøken et positivt tal. Hvis vi har brøken $\frac{-3}{4}$, er brøken et negativt tal. Brøken $\frac{-3}{-4}$ er så igen et positivt tal, fordi minusserne går ud med hinanden. Generelt kan vi skrive:

$$\begin{array}{rcl}\frac{positiv}{positiv}& =& positiv\\ \frac{positiv}{negativ}& =& negativ\\ \frac{negativ}{positiv}& =& negativ\\ \frac{negativ}{negativ}& =& positiv\end{array}$$

Vi skal altså løse to sæt uligheder. Vi begynder med at finde ud af, hvornår både tæller og nævner er positive:

1. For at både tæller og nævner kan være positive, skal begge disse uligheder gælde samtidig:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   I den første ulighed flytter vi bare 2 over på den anden side og ganger med −1:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   Så har vi løsningen til den første ulighed. I den anden ulighed, x > 0, er der ikke mere at løse. Nu skal vi tage fællesmængden af disse løsninger, fordi vi er interesserede i de tilfælde, hvor begge løsninger gælder samtidig, altså hvor tælleren er positiv og samtidig nævneren er positiv. Den første løsning kan vi skrive som intervallet ]−∞; 2[, den anden løsning kan vi skrive som intervallet ]0; ∞[. Nu tager vi fællesmængden af disse intervaller:

   $$]-\mathrm{\infty };2[\cap ]0;\mathrm{\infty }[=]0;2[$$

   Det er en løsning til uligheden. Hvis du indsætter tal fra dette interval, vil uligheden gælde. Når vi for eksempel indsætter x = 1 for x, som er et tal fra intervallet ]0; 2[, får vi uligheden $\frac{2}{1}+3>4$, hvilket er det samme som 5 > 4. Nu mangler vi at undersøge tilfældet, hvor både tæller og nævner er negative.

2. I tilfældet, hvor både tæller og nævner skal være negative, løser vi ulighederne:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Igen løser vi hurtigt uligheden 2 − x < 0:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   Den anden løsning er igen simpelthen x < 0. Vi skriver det som intervaller: ]2; ∞[ og ]−∞; 0[ og tager fællesmængden:

   $$]2;\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty };0[=\mathrm{\varnothing }$$

   Vi fik den tomme mængde. Hvad betyder det? At brøken $\frac{2-x}{x}$ aldrig kan have en negativ tæller og samtidig en negativ nævner.

De to foregående resultater skal vi nu bare forene, og vi får løsningsmængden L:

$$L=]0;2[\cup \mathrm{\varnothing }=]0;2[$$

Uligheden $\frac{2}{x}+3>4$ har løsninger for alle x fra intervallet ]0; 2[. Vi kan tegne en graf, hvor vi viser funktionerne $f(x)=\frac{2}{x}+3$ og g(x) = 4:

Vi ser, at den røde graf for funktionen $f(x)=\frac{2}{x}+3$ ligger over den blå graf for funktionen g(x) = 4 netop i intervallet ]0; 2[.

Lineær ulighed med numerisk værdi

Lidt mere morsomt bliver det med uligheder, der indeholder numerisk værdi. Du skal nemlig regne særskilt for, hvornår udtrykket inden for numerisktegnet er positivt, så fortegnet ikke ændrer sig, og hvornår udtrykket er negativt, så fortegnet ændrer sig — der opstår i grunden to uligheder i én. Så et enkelt eksempel:

$$|x+5|<12$$

Allerførst skal vi bestemme nulpunktet, som er det tal, hvor hele udtrykket inden for numerisktegnet bliver lig med nul, og som bruges til at bestemme de intervaller, hvor fortegnet ændrer sig, og hvor det ikke gør. Først løser vi altså ligningen

$$x+5=0$$

Vi ser, at resultatet er x = −5. Dette resultat deler værdien af x op i to intervaller. I det ene antager funktionen x + 5 positive værdier og i det andet negative. I intervallet ]−∞; −5[ får vi altså negative tal, og i intervallet [−5; ∞[ positive, eller rettere ikke-negative. Som demonstration er der i første linje et tal fra det første interval og i anden linje et fra det andet:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Hvad fortæller det os? At hvis vi indsætter en værdi større end minus fem for x, så ændrer den numeriske værdi ikke resultatet, fordi x + 5 bliver et positivt tal. Hvis værdien af x derimod er mindre end minus fem, bliver resultatet af x + 5 negativt, og den numeriske værdi ændrer det til positivt. Derfor må vi i uligheden skelne mellem disse to tilfælde.

Først beregner vi resultatet i det tilfælde, hvor vi tager x fra intervallet [−5; ∞[. Nu ændrer fortegnet sig ikke, for vi fjerner bare den numeriske værdi.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & ]-\mathrm{\infty };7[\end{array}$$

Nu har vi næsten den første løsning. Vi skal nemlig også tage fællesmængden med det interval, som vi i øjeblikket vælger x fra. Vi bevæger os nemlig i intervallet [−5; ∞[, så resultatet af denne lineære ulighed kan for eksempel ikke være x = −15, fordi det ikke ligger i vores interval. Vi skal altså tage fællesmængden:

$$[-5;\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty };7[=[-5;7[$$

Det er det første resultat. Nu skal vi beregne resultatet i det tilfælde, hvor vi tager x fra intervallet ]−∞; −5[. I dette interval ændrer den numeriske værdi fortegn. Hvis vi vil fjerne den numeriske værdi fra uligheden, må vi selv sørge for fortegnsskiftet, altså gange udtrykket inden for numerisktegnet med tallet −1, hvorved vi ændrer udtrykkets fortegn. Det omskriver vi derfor sådan her:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Til uligheden lægger vi 5:

$$-x<17$$

Og ganger med −1:

$$x>-17$$

Vi får således resultatet:

$$x\in ]-17;\mathrm{\infty }[$$

Men igen som før vælger vi værdien af x fra intervallet ]−∞; −5[, så vi skal også tage fællesmængden af dette interval og vores resultat:

$$]-17;\mathrm{\infty }[\cap ]-\mathrm{\infty };-5[=]-17;-5[$$

Nu har vi begge resultater, som vi blot forener:

$$x\in [-5;7[\cup ]-17;-5[=]-17;7[$$

Til kontrol kan vi se på graferne for disse funktioner:

Lidt mere om, hvornår man bruger et lukket og hvornår et åbent interval. Hvis vi har en streng ulighed, altså x>0, bruger vi et åbent interval, fordi x ikke kan være lig med nul. Hvis vi ikke har en streng ulighed, x ≥ 0, bruger vi et lukket interval, fordi x godt kan være lig med nul. Hvis du for eksempel indsætter x = 7 i den ulighed, vi netop har løst, og som »lige akkurat« ikke er med i ulighedens løsning, får du:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

Uligheden er ikke opfyldt, 12 er ikke mindre end 12.