Πρωτοβάθμιες ανισώσεις

Η πρωτοβάθμια ανίσωση λύνεται με παρόμοιες μετατροπές όπως όταν λύνεις μια συνηθισμένη πρωτοβάθμια εξίσωση. Η πρωτοβάθμια ανίσωση έχει συνήθως την εξής μορφή: α x + β>0 (ή αντίστοιχα μικρότερο από, μεγαλύτερο ή ίσο και μικρότερο ή ίσο). Τώρα φτάνει μόνο να φέρουμε την ανίσωση στην ακόλουθη μορφή και το αποτέλεσμα είναι έτοιμο: x>−β/α. Φυσικά υποθέτουμε ότι α>0. Για αρνητικό α κατά τη διαίρεση θα άλλαζε η φορά της ανισότητας και θα έβγαινε x<−β/α.

Συνηθισμένη πρωτοβάθμια ανίσωση

Την πρωτοβάθμια ανίσωση μπορούμε να τη λύσουμε με ισοδύναμες μετατροπές ανισώσεων.

• Ένα απλό παράδειγμα μπορεί να είναι το εξής:

  $$3x+9>3$$

  Πρώτα μεταφέρουμε όλες τις παραστάσεις χωρίς άγνωστο στο δεύτερο μέλος. Δηλαδή στην ανίσωση προσθέτουμε τον αριθμό −9, οπότε παίρνουμε την ανίσωση:

  $$\begin{array}{rcl}3x+9-9& >& 3-9\\ 3x& >& -6\end{array}$$

  Στη συνέχεια διαιρούμε ολόκληρη την ανίσωση με το τρία:

  $$\begin{array}{rcl}3x/3& >& -6/3\\ x& >& -2\end{array}$$

  Αυτό είναι το αποτέλεσμα ολόκληρης της ανίσωσης. Η ανίσωση αληθεύει για όλα τα x > −2.

  Την ανίσωση θα μπορούσαμε να τη λύσουμε και γραφικά. Αν έχουμε την ανίσωση 3x + 9 > 3, σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων – του αριστερού και του δεξιού μέλους της ανίσωσης. Παίρνουμε τις συναρτήσεις f(x) = 3x + 9 και g(x) = 3. Οι γραφικές τους παραστάσεις φαίνονται έτσι:

  

  Βλέπουμε ότι αυτές οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται σε ένα σημείο x₁, του οποίου η συντεταγμένη x είναι ακριβώς −2. Βλέπουμε επίσης ότι για όλα τα x > x₁, δηλαδή για όλα τα x από το διάστημα (−2, +∞), η κόκκινη συνάρτηση 3x + 9 βρίσκεται «πάνω» από την μπλε συνάρτηση 3 (εδώ το «πάνω» έχει την έννοια «έχει μεγαλύτερη συντεταγμένη y»). Αυτό συμφωνεί με το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήξαμε πριν από λίγο.

• Μερικές φορές βολεύει, αν έχεις πολλά μείον, να πολλαπλασιάσεις ολόκληρη την ανίσωση με μείον ένα. Σε αυτήν την περίπτωση πρέπει εκτός από τα ίδια τα μέλη της ανίσωσης να αντιστρέψεις και το σύμβολο – από «μεγαλύτερο από» να κάνεις «μικρότερο από» και αντίστροφα:

  $$\begin{array}{rcl}-x& <& -10/\cdot (-1)\\ x& >& 10\end{array}$$

  Αυτό φυσικά ισχύει όποτε πολλαπλασιάζεις ολόκληρη την ανίσωση με οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό. Ας δούμε λοιπόν ακόμη ένα γρήγορο παράδειγμα:

  $$\begin{array}{rcl}-3x+8& <& 2x-7\\ -5x& <& -15/\cdot (-\frac{1}{5})\\ x& >& 3\end{array}$$

  Στο πρώτο βήμα προσθέτουμε κανονικά στην ανίσωση −2x, δηλαδή μεταφέρουμε όλες τις παραστάσεις με μεταβλητή στο πρώτο μέλος. Ταυτόχρονα αφαιρούμε το οκτώ, οπότε μεταφέρουμε τις σταθερές στο δεύτερο μέλος. Μετά απλώς πολλαπλασιάζουμε ολόκληρη την ανίσωση με $-\frac{1}{5}$.

  Για επεξήγηση, δες τη γραφική λύση της ανίσωσης, όπου σχεδιάζουμε δύο συναρτήσεις f(x) = −3x + 8 και g(x) = 2x − 7.

  

  Βλέπουμε ότι η κόκκινη γραφική παράσταση της συνάρτησης −3x + 8 βρίσκεται κάτω από την μπλε γραφική παράσταση της συνάρτησης 2x − 7 πάντα όταν x > 3.

Μεταβλητή στον παρονομαστή

Η πρωτοβάθμια ανίσωση που περιέχει κλάσματα με μεταβλητή στον παρονομαστή λύνεται κάπως πιο περίπλοκα. Ένα παράδειγμα μπορεί να είναι η ανίσωση:

$$\frac{2}{x}+3>4$$

Την ανίσωση δεν μπορούμε να την πολλαπλασιάσουμε με τον άγνωστο στον παρονομαστή, επειδή δεν ξέρουμε το πρόσημό του. Αν η τιμή της μεταβλητής ήταν αρνητική, θα έπρεπε να αντιστρέψουμε τη φορά της ανισότητας. Γι' αυτό δεν μπορούμε απλώς να πολλαπλασιάσουμε την ανίσωση με τη μεταβλητή του παρονομαστή. Δεν θα ήταν ισοδύναμη μετατροπή ανισώσεων.

Αρχίζουμε να μετασχηματίζουμε την ανίσωση ώστε να πάρουμε ένα κλάσμα στο πρώτο μέλος και μηδέν στο δεύτερο μέλος. Πρώτα λοιπόν προσθέτουμε στην ανίσωση −4, οπότε παίρνουμε τη μορφή:

$$\begin{array}{r}\frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0\end{array}$$

Τώρα πρέπει να μετατρέψουμε την παράσταση του πρώτου μέλους σε ένα κλάσμα. Τον αριθμό −1 τον πολλαπλασιάζουμε με το κλάσμα $\frac{x}{x}$, οπότε φέρνουμε και τις δύο παραστάσεις σε κοινό παρονομαστή και μετά απλώς προσθέτουμε τα κλάσματα:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2}{x}-1& >& 0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}& >& 0\\ \frac{2-x}{x}& >& 0\end{array}$$

Τώρα βρισκόμαστε μπροστά στο ερώτημα – πότε είναι το κλάσμα θετικό; Το κλάσμα είναι θετικό, αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι και οι δύο θετικοί ή αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι και οι δύο αρνητικοί. Αν ο ένας είναι θετικός και ο άλλος αρνητικός, τότε το κλάσμα είναι αρνητικό. Αν έχουμε για παράδειγμα το κλάσμα $\frac{4}{3}$, ολόκληρο το κλάσμα παριστάνει θετικό αριθμό. Αν έχουμε το κλάσμα $\frac{-3}{4}$, το κλάσμα παριστάνει αρνητικό αριθμό. Το κλάσμα $\frac{-3}{-4}$ παριστάνει πάλι θετικό αριθμό, επειδή τα μείον απλοποιούνται. Γενικά μπορούμε να γράψουμε:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\text{θετικός}}{\text{θετικός}}& =& \text{θετικός}\\ \frac{\text{θετικός}}{\text{αρνητικός}}& =& \text{αρνητικός}\\ \frac{\text{αρνητικός}}{\text{θετικός}}& =& \text{αρνητικός}\\ \frac{\text{αρνητικός}}{\text{αρνητικός}}& =& \text{θετικός}\end{array}$$

Θα πρέπει λοιπόν να λύσουμε δύο ομάδες ανισώσεων. Ξεκινάμε βρίσκοντας πότε ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι και οι δύο θετικοί:

1. Για να είναι ο αριθμητής και ο παρονομαστής θετικοί, πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα και οι δύο ανισώσεις:

   $$2-x>0\wedge x>0$$

   Στην πρώτη ανίσωση απλώς μεταφέρουμε το 2 στο άλλο μέλος και πολλαπλασιάζουμε με −1:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& >& 0\\ -x& >& -2\\ x& <& 2\end{array}$$

   Έχουμε τη λύση της πρώτης ανίσωσης. Στη δεύτερη ανίσωση x > 0 δεν υπάρχει τίποτα άλλο να λύσουμε. Σε αυτό το σημείο πρέπει να κάνουμε τομή αυτών των λύσεων, επειδή μας ενδιαφέρουν οι περιπτώσεις όπου ισχύουν και οι δύο λύσεις ταυτόχρονα, δηλαδή όταν ο αριθμητής είναι θετικός και συγχρόνως ο παρονομαστής είναι θετικός. Την πρώτη λύση μπορούμε να τη γράψουμε ως διάστημα (−∞,2), τη δεύτερη λύση ως διάστημα (0,+∞). Τώρα κάνουμε την τομή αυτών των διαστημάτων:

   $$(-\mathrm{\infty },2)\cap (0,+\mathrm{\infty })=(0,2)$$

   Αυτή είναι μία λύση της ανίσωσης. Αν αντικαταστήσεις αριθμούς από αυτό το διάστημα, η ανίσωση θα ισχύει. Για παράδειγμα όταν στη θέση του x βάλουμε x = 1, που είναι αριθμός από το διάστημα (0, 2), παίρνουμε την ανίσωση $\frac{2}{1}+3>4$, που ισούται με 5 > 4. Τώρα μένει να εξετάσουμε την περίπτωση όπου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι και οι δύο αρνητικοί.

2. Στην περίπτωση όπου ο αριθμητής και ο παρονομαστής πρέπει να είναι και οι δύο αρνητικοί, λύνουμε τις ανισώσεις:

   $$2-x<0\wedge x<0$$

   Πάλι λύνουμε γρήγορα την ανίσωση 2 − x < 0:

   $$\begin{array}{rcl}2-x& <& 0\\ -x& <& -2\\ x& >& 2\end{array}$$

   Η δεύτερη λύση είναι πάλι απλώς x < 0. Τις γράφουμε με διαστήματα: (2,+∞) και (−∞, 0) και κάνουμε την τομή:

   $$(2,+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },0)=\mathrm{\varnothing }$$

   Βγήκε το κενό σύνολο. Τι σημαίνει αυτό; Ότι το κλάσμα $\frac{2-x}{x}$ δεν μπορεί ποτέ να έχει αρνητικό αριθμητή και ταυτόχρονα αρνητικό παρονομαστή.

Τα δύο προηγούμενα αποτελέσματα τα ενώνουμε και παίρνουμε το τελικό σύνολο S:

$$S=(0,2)\cup \mathrm{\varnothing }=(0,2)$$

Η ανίσωση $\frac{2}{x}+3>4$ αληθεύει για όλα τα x από το διάστημα (0, 2). Μπορούμε να σχεδιάσουμε μια γραφική παράσταση, στην οποία απεικονίζουμε τις συναρτήσεις $f(x)=\frac{2}{x}+3$ και g(x) = 4:

Βλέπουμε ότι η κόκκινη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=\frac{2}{x}+3$ βρίσκεται πάνω από την μπλε γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = 4 ακριβώς στο διάστημα (0, 2).

Πρωτοβάθμια ανίσωση με απόλυτη τιμή

Λίγο πιο διασκεδαστικές είναι οι ανισώσεις που περιέχουν απόλυτη τιμή. Πρέπει να υπολογίσεις χωριστά πότε η παράσταση μέσα στην απόλυτη τιμή είναι θετική και άρα το πρόσημο δεν αλλάζει, και πότε είναι αρνητική και το πρόσημο αλλάζει – προκύπτουν ουσιαστικά δύο ανισώσεις σε μία. Ας πάρουμε λοιπόν ένα απλό παράδειγμα:

$$|x+5|<12$$

Πριν από όλα πρέπει να βρούμε τη ρίζα, δηλαδή τον αριθμό που, όταν τον αντικαταστήσουμε, ολόκληρη η παράσταση μέσα στην απόλυτη τιμή ισούται με μηδέν και που μας βοηθά να ορίσουμε τα διαστήματα στα οποία το πρόσημο αλλάζει και στα οποία δεν αλλάζει. Πρώτα λοιπόν λύνουμε την εξίσωση

$$x+5=0$$

Βλέπουμε ότι το αποτέλεσμα είναι x = −5. Αυτό το αποτέλεσμα χωρίζει την τιμή του x σε δύο διαστήματα. Στο ένα η συνάρτηση x + 5 παίρνει θετικές τιμές και στο άλλο αρνητικές. Έτσι στο διάστημα (−∞, −5) παίρνουμε αρνητικούς αριθμούς και στο διάστημα [−5, +∞) θετικούς, ή μάλλον μη αρνητικούς. Για επίδειξη, στην πρώτη γραμμή υπάρχει αριθμός από το πρώτο διάστημα, στη δεύτερη από το δεύτερο:

$$\begin{array}{rcl}-8+5& =& -3\\ 13+5& =& 18\end{array}$$

Τι μας λέει αυτό; Ότι αν αντικαταστήσουμε στη θέση του x τιμή μεγαλύτερη από το μείον πέντε, τότε η απόλυτη τιμή δεν αλλάζει το αποτέλεσμα, επειδή το x + 5 θα είναι θετικός αριθμός. Αντίθετα, αν η τιμή του x είναι μικρότερη από το μείον πέντε, τότε το αποτέλεσμα x + 5 θα είναι αρνητικό και η απόλυτη τιμή θα το κάνει θετικό. Γι' αυτό πρέπει στην ανίσωση να ξεχωρίσουμε αυτές τις δύο περιπτώσεις.

Πρώτα λοιπόν υπολογίζουμε το αποτέλεσμα στην περίπτωση που παίρνουμε το x από το διάστημα [−5, +∞). Σε αυτή την περίπτωση το πρόσημο δεν αλλάζει, επειδή απλώς αφαιρούμε την απόλυτη τιμή.

$$\begin{array}{rcl}x+5& <& 12\\ x& <& 7\\ x& \in & (-\mathrm{\infty },7)\end{array}$$

Έχουμε σχεδόν την πρώτη λύση. Πρέπει ακόμη να κάνουμε τομή με το διάστημα από το οποίο επιλέγουμε τώρα το x. Κινούμαστε δηλαδή στο διάστημα [−5, +∞), άρα το αποτέλεσμα αυτής της πρωτοβάθμιας ανίσωσης δεν μπορεί να είναι για παράδειγμα x = −15, επειδή δεν ανήκει στο διάστημά μας. Πρέπει έτσι να κάνουμε τομή:

$$[-5,+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },7)=[-5,7)$$

Αυτό είναι το πρώτο αποτέλεσμα. Τώρα πρέπει να υπολογίσουμε το αποτέλεσμα στην περίπτωση που παίρνουμε το x από το διάστημα (−∞, −5). Σε αυτό το διάστημα η απόλυτη τιμή μας αλλάζει το πρόσημο. Αν θέλουμε να αφαιρέσουμε από την ανίσωση την απόλυτη τιμή, πρέπει να φροντίσουμε μόνοι μας για την αλλαγή του προσήμου, δηλαδή πολλαπλασιάζουμε την παράσταση κάτω από την απόλυτη τιμή με τον αριθμό −1, οπότε αλλάζουμε το πρόσημο της παράστασης. Την ξαναγράφουμε λοιπόν έτσι:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ -(x+5)& <& 12\\ -x-5& <& 12\end{array}$$

Στην ανίσωση προσθέτουμε 5:

$$-x<17$$

Και πολλαπλασιάζουμε με −1:

$$x>-17$$

Παίρνουμε έτσι το αποτέλεσμα:

$$x\in (-17,+\mathrm{\infty })$$

Αλλά πάλι όπως πριν, την τιμή του x την επιλέγουμε από το διάστημα (−∞, −5), άρα πρέπει ακόμη να κάνουμε τομή αυτού του διαστήματος με το αποτέλεσμά μας:

$$(-17,+\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },-5)=(-17,-5)$$

Τώρα έχουμε και τα δύο αποτελέσματα, που απλώς τα ενώνουμε:

$$x\in [-5,7)\cup (-17,-5)=(-17,7)$$

Για επαλήθευση μπορούμε να δούμε τις γραφικές παραστάσεις αυτών των συναρτήσεων:

Μερικά ακόμη λόγια για το πότε να χρησιμοποιείς κλειστό και πότε ανοικτό διάστημα. Αν έχουμε γνήσια ανισότητα, δηλαδή x>0, χρησιμοποιούμε ανοικτό διάστημα, επειδή το x δεν μπορεί να ισούται με μηδέν. Αν δεν έχουμε γνήσια ανισότητα x ≥ 0, τότε χρησιμοποιούμε κλειστό διάστημα, επειδή το x μπορεί να ισούται με μηδέν. Για παράδειγμα όταν στην ανίσωση που μόλις λύσαμε αντικαταστήσεις x = 7, που «οριακά» δεν περιλαμβάνεται στη λύση της ανίσωσης, παίρνεις:

$$\begin{array}{rcl}|x+5|& <& 12\\ (7+5)& <& 12\\ 12& <& 12\end{array}$$

Η ανίσωση δεν ισχύει, το 12 δεν είναι μικρότερο από το 12.