✖

Algebrai számok

Azt a számot, amely gyöke valamilyen egész együtthatós polinomnak, algebrai számnak nevezzük. Mit jelent ez a gyakorlatban? Vehetünk bármilyen számot, és eljátszhatunk vele egy ilyen matematikai játékot. A játék célja, hogy egy x számot nullára redukáljunk, de közben csak az összeadás, a kivonás, a szorzás és a hatványozás műveletét használhatjuk, és az átalakításokhoz csak egész számokat alkalmazhatunk. A példákból ez világosabb lesz.

Induljunk a 42 számmal. Hogyan alakítanánk át úgy, hogy nullát kapjunk? Kivonhatjuk belőle a 42 egész számot, és nullát kapunk (nullával szorozni nem szabad):

42−42=0

Mivel a 42 számot sikerült nullára redukálni, a 42 algebrai szám. Ez eléggé triviális volt. Mi a helyzet egy törttel, mondjuk a 73 számmal? Mivel csak egész számokkal dolgozhatunk, nem vonhatjuk ki ebből a törtből a 73 számot, hogy nullát kapjunk. Másképp kell megoldanunk. Először megszorozzuk a törtet hárommal:

3⋅73=3⋅73=7

Egész számot kaptunk, és azt már át tudjuk alakítani nullára: kivonunk hetet. Felírhatjuk tehát, hogy

3⋅73−7=0

és mondhatjuk, hogy a hétharmad szintén algebrai szám. Vegyünk egy még bonyolultabb számot, a kettő négyzetgyökét: 2. Semmilyen szorzás vagy összeadás nem segít, először meg kell szabadulnunk a gyökjeltől. Négyzetre emeljük a kifejezést:

(2)2=2

Egész számot kaptunk, amelyet át tudunk alakítani nullára, kivonunk kettőt:

(2)2−2=0

A kettő négyzetgyöke, amely irracionális szám, is algebrai szám. Egyelőre úgy tűnik, hogy minden szám, amelyet kipróbálunk, algebrai. Mi a helyzet például az Euler-féle számmal, az e számmal? Ez is irracionális, tehát a kettő négyzetgyökéhez hasonlóan végtelen, nem ismétlődő tizedes kifejtése van. Közelítő értéke 2,71. A kettő négyzetgyökével ellentétben azonban nincs rá mód, hogy a megengedett műveletekkel nullára redukáljuk. Akármihez adjuk hozzá az Euler-féle számot, akármivel szorozzuk, vagy akárhányadik hatványra emeljük, mindig újabb irracionális számot kapunk. Az Euler-féle szám ezért nem algebrai szám, hurrá!

Hasonlóan nem algebrai szám a π, a Ludolph-féle szám (3,14).

Az olyan számokat, amelyek nem algebraiak, transzcendens számoknak nevezzük.

Pontosabb definíció

Minden algebrai számhoz tehát léteznie kell olyan egész együtthatós polinomnak (többtagú kifejezésnek), amelynek éppen ez az algebrai szám a gyöke. A polinom gyöke az a szám, amelynél a polinom értéke nulla. Ha visszatérünk a fenti példákhoz, a 42 számhoz az

x−42=0

egyenletet kapnánk, és mivel az x − 42 polinom gyöke éppen x = 42, ez azt jelenti, hogy a 42 algebrai szám. A 73 racionális számhoz ez az egyenlet lenne:

3x−7=0

mert a 3x − 7 polinom gyöke éppen x=73. Végül a kettő négyzetgyökéhez ezt kapnánk:

x2−2=0

mert az x2 − 2 polinom gyöke éppen a kettő négyzetgyöke. Az Euler-féle számhoz vagy a π-hez nem tudunk ilyen egyenletet vagy polinomot felállítani, mert transzcendens számok, és nem algebrai számok.

Példák algebrai számokra

  • Minden egész szám algebrai is.
  • Minden racionális szám (tört) algebrai.
  • Az irracionális számok már bonyolultabbak. Ahogy láttuk, némelyik irracionális szám algebrai, például a kettő négyzetgyöke, de némelyik nem az, például az Euler-féle szám.
  • Egész szám minden n-edik gyöke algebrai.
  • Az aranymetszés algebrai szám.

Hivatkozások és források