Végtelen

A végtelen elvont fogalom, amelyet gyakorlatilag el sem lehet képzelni. Magának a végtelennek nincs vége, innen kapta a nevét, de az általános végtelennek kezdete sincs (pontosítani azonban lehet, például a félegyenes is végtelen, de van kezdete). A végtelent általában az úgynevezett „fekvő nyolcassal” jelöljük – ∞.

Számolás a végtelennel

A végtelen részben hasonlít a nullához, amely szintén sok tekintetben különleges, és különleges szabályok vonatkoznak rá. Például nullával nem lehet osztani, ezt valószínűleg minden kisgyerek tudja (egyébként ismered ezt a viccet? Mi a legjobb kifogás, ha nincs meg a matekházid? „Tanárnő, véletlenül nullával kezdtem osztani, és leégett a füzetem…” ;o)).

Ahogy bármi szorozva nullával nulla, úgy az is igaz, hogy bármi szorozva a végtelennel vagy bármi plusz a végtelen: végtelen. Ha a végtelenből kivonsz akármilyen nagy számot, mindig a végtelen marad. Ugyanígy, ha megpróbálod elosztani a végtelent. A végtelen egyszerűen olyan nagy, hogy még ha másodpercenként milliókat vonsz is ki belőle, mindig a végtelen marad. Néha ezt kicsit nehéz megérteni, nézzük például ezt az egyenletet: ∞ + 1 = ∞. Igaz vagy nem igaz?

A logika azt mondja, hogy az egyenlet bal oldala nagyobb, hiszen ha a végtelenhez hozzáadok egyet, az egész kifejezésnek nagyobbnak kell lennie, mint a puszta végtelen. Nem kell :-). Ahogy már mondtam, a végtelen plusz bármi: végtelen. Tehát a végtelen plusz egy az végtelen, és a végtelen egyenlő a végtelennel. Az egyenlet igaz.

Más úton is lehet menni, a határértékeken keresztül. Vegyük most az 1/x törtet, és számítsuk ki a jobb oldali határértékét, ha x→0⁺, és tegyük fel, hogy nem égett le a füzetünk. Ez a határérték egyenlő lenne a végtelennel. Ha ehhez a kifejezéshez hozzáadsz egyet, az (1+x)/x kifejezést kapod, és a határértéke, ha x→0⁺, megint a végtelen lenne.

A móka akkor kezdődik, ha a végteleneket többször összekombináljuk. Például mivel egyenlő a végtelen mínusz végtelen kifejezés? A logika azt mondja, hogy két egyforma nagy számot vonunk ki egymásból, tehát az eredmény nulla. Azt is mondtam, hogy ha a végtelenből kivonunk bármilyen számot, az eredmény megint végtelen. Fordítva pedig, ha bármilyen számból kivonjuk a végtelent, mínusz végtelent kapunk. Hogyan keveredjünk ki ebből? Elméletileg minden eredmény lehetséges. A matematika azt mondja, hogy a ∞ − ∞ kifejezés nem egyenlő semmilyen konkrét értékkel, ez egy nem definiált, határozatlan kifejezés. Ez hasonló példa, mint amikor nullával próbálsz osztani, egyszerűen nincs értelme. Ha ilyen határozatlan kifejezésbe ütközöl, valamilyen módon át kell alakítanod a kifejezést (a határozatlan kifejezések egyes fajtáinál használható például a L'Hospital-szabály [ejtsd: lopitál-szabály]).

További nem definiált, határozatlan kifejezések:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

Egyébként viszont érvényesek az előjelekkel végzett alapműveletek, például −1 · ∞ egyenlő mínusz végtelennel.

Meg akarsz őrülni?

Akkor vágj bele a halmazelméletbe, és számold ki, melyik halmaz a nagyobb. Például nagyobb a páros számok halmaza, vagy a páratlanoké? A párosoké vagy a természeteseké? A természeteseké vagy az egészeké? A párosoké vagy az egészeké? A természeteseké vagy a racionálisaké? A válasz: mind egyforma nagy. Bár furcsának tűnhet (hiszen egész számból biztosan több van, mint páratlanból), egyforma nagy halmazok. Ezzel szemben a valós számok halmaza nagyobb, mint a felsorolt halmazok. Az ördög se igazodik ki rajta ;-)