Kúp felszíne

A kúp felszíne, egyszerűen szólva, azt mondja meg, mennyi papírra vagy lemezre van szükségünk, ha az egész kúpot el akarjuk készíteni vagy be akarjuk vonni. Ne keverd össze a kúp térfogatával, amely azt mondja meg, mennyi víz fér a kúpba. A kúpnak két része van: alul a kör alakú alap, fölötte pedig a palást, amely a csúcsban fut össze.

Az alapkör r sugara az ábrán piros, az m magasság kék, a kúp a alkotója pedig zöld – ez a csúcs és az alapkör pereme közötti távolság.

A kúp felszínének képlete

Ha csak a képletre van szükséged, akkor annak a kúpnak az A felszínét, amelynek alapköre r sugarú, alkotója pedig a hosszú, a következőképpen számítod ki:

$$A=r^2\cdot \pi +r\cdot \pi \cdot a$$

Az első összeadandó az alap területe, a második a palást területe. A képletet néha az r · π kiemelésével is felírják:

$$A=r\cdot \pi \cdot (r+a)$$

Vegyünk egy kúpot, amelynek alapköre r = 3 sugarú, alkotója pedig a = 5. A felszíne

$$A=3^2\cdot \pi +3\cdot \pi \cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

Ha az eredményt pi helyett közönséges számként szeretnéd felírni, helyettesítsd be a közelítő 3,14 értéket:

$$A\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Hogyan jutottunk ide?

Az alap egyszerű kör, a területét tehát ismerjük a kör területének képletéből: r² · π.

A palástnál érdekesebb a helyzet. Ha az alkotó mentén felvágjuk és az asztalra kiterítjük, a sugarú körcikket kapunk. Az ábra a kúp teljes hálóját mutatja: a piros körcikk a palást, a kék kör az alap. Az ábrán a háló összehajtható kúppá, majd újra kiteríthető.

A körcikk narancssárga íve a felvágás előtt az alap pereme volt, ezért ugyanolyan hosszú, mint alul a narancssárga körvonal, vagyis a kör kerülete, 2rπ. Az a sugarú teljes körvonal hossza 2aπ lenne. A körcikk az a sugarú teljes körlapnak pontosan akkora része, mint amekkora része az ív a teljes körvonalnak:

$$\frac{2r\pi }{2a\pi }=\frac{r}{a}$$

Az előző példabeli kúpnál ez a körlap három ötöde, ahogy az ábrán is látszik. A teljes körlap területe a² · π lenne, a palást ennek az $\frac{r}{a}$ részét teszi ki:

$$T_{\text{palást}}=\frac{r}{a}\cdot a^2\cdot \pi =r\cdot \pi \cdot a$$

Ha a palásthoz hozzáadjuk még az alapot is, megkapjuk a teljes A = r² · π + r · π · a képletet.

Példa: papírsüveg

Ünnepség készül, és ahhoz kúp alakú papírsüveget szeretnénk készíteni. Alul 8 cm legyen a sugara, a magassága pedig 15 cm. Mennyi papírra lesz szükségünk?

A képlethez azonban az a alkotó kell, nem a magasság. A magasság, a sugár és az alkotó viszont derékszögű háromszöget alkot, így az alkotót a Pitagorasz-tétellel számíthatjuk ki. Behelyettesítjük az r = 8 és az m = 15 értéket:

$$a=\sqrt{r^2+m^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Négyzetre emelünk:

$$a=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Már csak gyököt kell vonni:

$$a=17$$

Itt vár ránk a csapda: a süvegnek nincs alja. Aki a teljes képletet venné elő, alappal ellátott süveget készítene, azt pedig elég nehéz viselni. Ezért csak a palást területét számítjuk ki:

$$T_{\text{palást}}=r\cdot \pi \cdot a=8\cdot \pi \cdot 17=136\pi$$

Behelyettesítjük a pi közelítő értékét:

$$T_{\text{palást}}\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

A süveghez körülbelül 427 négyzetcentiméter papírra lesz szükségünk, meg még egy kis többletre a ragasztáshoz.

Számológép

Add meg az alapkör sugarát és az alkotót, az egységeket minden mezőnél átkapcsolhatod. A számológép a pontos pi értékével számol, ezért az eredménye valamivel nagyobb, mint 75,36.

Lásd még

• Kúp térfogata
• Körcikk
• Henger felszíne
• Gúla felszíne