Изследване на функция: изпъкналост и вдлъбнатост

Изпъкналостта и вдлъбнатостта на функция показват нещо като извивката на функцията. Точките, в които изпъкнала функция се променя във вдлъбната или обратно, се наричат инфлексни точки.

Какво е изпъкнала и вдлъбната функция

От графиката обикновено от пръв поглед е ясно дали функцията е вдлъбната или изпъкнала. Изпъкналата функция прилича на „падина“, а вдлъбнатата – на хълм. Казва се още, че в изпъкнала функция можеш да налееш кафе. Следват три примера за вече известни функции.

Как да установим дали функцията е изпъкнала или вдлъбната

Сега ще видим как да установим дали функцията в даден интервал е изпъкнала или вдлъбната. За целта ще ни трябва още един чертеж:

Квадратната функция е изпъкнала в цялото си дефиниционно множество. Какво забелязваш, когато погледнеш всички допирателни, които съм означил на чертежа? За всяка допирателна е изпълнено, че всички точки на квадратната функция са над тази допирателна, с изключение на единствената точка, до която допирателната се допира. Можем да нарисуваме подобен чертеж за противоположната функция −x², там положението ще е обратно и всички точки ще са под допирателната:

Преди по-нататъшното обяснение разгледай следния чертеж:

Изобразената функция f(x) = x² е изпъкнала. Вече знаем, че при изпъкнала функция всички точки на графиката са над допирателната. Това тук е изпълнено – имаме допирателна t и точките на графиката са над тази допирателна. Сега трябва да покажем с пресмятане, че тези точки са над допирателната.

Имаме дадена точка x₀ и в точката (x₀; f(x₀)) прекарваме допирателна към графиката, правата t. На чертежа точката с координати (x₀; f(x₀)) е отбелязана с червената точка T. След това върху оста x избираме някоя друга точка x. На чертежа това е зелената точка. За x трябва да е изпълнено, че точката (x; f(x)), на чертежа зелената точка F, се намира над допирателната t. Тъй като функцията x² е изпъкнала в цялото си дефиниционно множество, то който и елемент x ∈ D(f) да вземем, трябва да е изпълнено, че (x; f(x)) се намира над допирателната.

Как да го запишем с формула? На чертежа имаме допирателната t. Нека си представим линейна функция t(x), чиято графика би била точно допирателната/правата t. Така например стойността в точката x₀, т.е. t(x₀), би била равна на t(x₀) = f(x₀), защото в тази точка функциите са равни (графиките им имат в тази точка обща точка).

Сега вече можем да го изразим с формули. Как бихме записали, че графиката на една функция е над графиката на друга функция? Просто така: f(x) > t(x). Когато погледнем чертежа: в точката x допирателната се намира под графиката, защото f(x) > t(x).

Тъй като познаваме функцията f, познаваме и стойностите f(x₀) и f(x). За да установим дали f(x) > t(x), е достатъчно да установим дължината на лилавата отсечка AB. А как да я установим? Е, знаем дължината на отсечката TA, това е |x − x₀|. Дължината на отсечката TB обаче за съжаление не знаем. Ако обаче пресметнем производната на функцията в точката x₀, ще установим ъгловия коефициент на допирателната, т.е. ще установим тангенса на ъгъла, който допирателната сключва с положителната полуос x, като този ъгъл има същата големина като ъгъл ATB, това са съответни ъгли.

Сега знаем дължината на отсечката TA и големината на ъгъл ATB. Напомняме, че тангенсът е отношение на срещулежащия и прилежащия катет, така че е изпълнено:

$$\mathrm{tg}(\sphericalangle ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

Ние знаем $\mathrm{tg}(\sphericalangle ATB)$ и |TA| и искаме да пресметнем |AB|. Затова изразяваме |AB|:

$$|AB|=\mathrm{tg}(\sphericalangle ATB)\cdot |TA|$$

Първо преобразуваме уравнението, като за дължината |TA| заместим |x − x₀|:

$$|AB|=\mathrm{tg}(\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

А вместо $\mathrm{tg}(\sphericalangle ATB)$ заместваме производната на функцията f в точката x₀, т.е. f′(x₀):

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Така пресметнахме дължината на отсечката AB. На чертежа x > x₀ и производната е положителна, но в общия случай вместо |x − x₀| пишем (x − x₀), за да се получи правилният знак. Можем да запишем: функцията f е в точката x₀ изпъкнала, ако съществува някоя пробита околност O на точката x₀, в която за всяко x от тази околност O е изпълнено:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

Цялата дясна страна на неравенството всъщност е равна на стойността t(x). Когато погледнеш чертежа, ако към f(x₀) прибавиш дължината на отсечката AB, получаваш t(x).

Как да намерим инфлексни точки

Без извеждане ще кажем, че функцията f(x) е в точката x₀ изпъкнала, ако е изпълнено f′′(x₀)>0, и вдлъбната, ако f′′(x₀)<0. Словесно: ако втората производна в точката е положителна, функцията в дадената точка е изпъкнала.

Подобно на това как екстремумът разделяше намаляващата част на функцията от растящата част, инфлексните точки разделят изпъкналите и вдлъбнатите части на функцията. Така инфлексна точка е точка, в която функцията се променя от изпъкнала във вдлъбната или обратно. По-рано казахме, че дори първата производна в точка да е нула, там не е задължително да има екстремум. Там може да има инфлексна точка.

Какво трябва да е изпълнено за инфлексна точка? В дадената точка изпъкнала функция се променя във вдлъбната (или обратно), така че в дадената точка не може да е изпълнено нито f′′(x)>0, нито f′′(x)<0. Ако функцията има в точката втора производна, трябва да е изпълнено f′′(x) = 0. Ако f′′(x) = 0 и същевременно f′′′(x) ≠ 0, то в точката x има инфлексна точка. Пример:

Намери инфлексните точки на функцията f(x) = x³. Графика:

Пресмятаме първата, втората и третата производна:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

Виждаме, че f′(x) = 0 за x = 0, също така f′′(0) = 0. Втората производна на функцията е в точката 0 нула. Същевременно третата производна е положителна, т.е. ненулева. Функцията има в точката x = 0 инфлексна точка. От графиката виждаме, че се променя от вдлъбната в изпъкнала.