함수의 그래프 개형: 아래로 볼록과 위로 볼록

함수가 아래로 볼록한지 위로 볼록한지는 함수의 그래프가 어느 쪽으로 볼록한지를 나타낸다. 함수의 그래프가 아래로 볼록에서 위로 볼록으로, 또는 그 반대로 바뀌는 점을 변곡점이라고 한다.

아래로 볼록한 함수와 위로 볼록한 함수란

그래프를 보면 함수가 위로 볼록한지 아래로 볼록한지는 대개 한눈에 알 수 있다. 아래로 볼록한 함수는 “움푹 팬 곳”처럼 보이고, 위로 볼록한 함수는 언덕처럼 보인다. 아래로 볼록한 함수에는 커피를 부을 수 있다고도 한다. 다음은 이미 아는 함수의 예 세 가지이다.

함수가 아래로 볼록한지 위로 볼록한지 알아내는 방법

이제 함수가 어떤 구간에서 아래로 볼록한지 위로 볼록한지 알아내는 방법을 살펴보자. 이를 위해 그림이 하나 더 필요하다.

이차함수는 정의역 전체에서 아래로 볼록하다. 그림에 그린 접선들을 모두 보면 무엇을 알 수 있을까? 모든 접선에 대해, 접선이 닿는 한 점을 빼면 이차함수의 모든 점이 그 접선보다 위에 있다. 부호가 반대인 함수 −x²에 대해서도 비슷한 그림을 그릴 수 있다. 그때는 반대로 모든 점이 접선보다 아래에 있다.

설명을 계속하기 전에 다음 그림을 보자.

그림의 함수 f(x) = x²은 아래로 볼록하다. 아래로 볼록한 함수에서는 그래프의 모든 점이 접선보다 위에 있다는 것을 이미 안다. 여기서도 그렇다. 접선 t가 있고 그래프의 점들은 이 접선보다 위에 있다. 이제 그 점들이 접선보다 위에 있다는 것을 어떻게 계산으로 보이느냐가 문제이다.

점 x₀이 주어지고, 점 (x₀, f(x₀))에서 그래프에 접선, 즉 직선 t를 긋는다. 그림에서 좌표가 (x₀, f(x₀))인 점은 빨간 점 T로 표시했다. 다음으로 x축에서 다른 어떤 점 x를 고른다. 그림에서는 초록 점이다. x에 대해 점 (x, f(x)), 즉 그림의 초록 점 F가 접선 t보다 위에 있어야 한다. 함수 x²은 정의역 전체에서 아래로 볼록하므로, 어떤 원소 x ∈ D(f)를 택해도 (x, f(x))는 접선보다 위에 있어야 한다.

이것을 어떻게 식으로 쓸까? 그림에 접선 t가 있다. 그래프가 이 접선, 즉 직선 t인 일차함수 t(x)를 생각하자. 예를 들어 점 x₀에서의 함숫값, 즉 t(x₀)은 t(x₀) = f(x₀)과 같다. 이 점에서 두 함수가 같기 때문이다(두 그래프가 이 점을 공유한다).

이제 식으로 나타낼 수 있다. 한 함수의 그래프가 다른 함수의 그래프보다 위에 있다는 것은 어떻게 쓸까? 간단히 f(x) > t(x)라고 쓴다. 그림을 보면 점 x에서 접선은 그래프보다 아래에 있다. f(x) > t(x)이기 때문이다.

함수 f를 알므로 값 f(x₀)과 f(x)도 안다. 그래서 f(x) > t(x)인지 알아내려면 보라색 선분 AB의 길이만 알면 된다. 그러면 어떻게 알아낼까? 선분 TA의 길이는 안다. |x − x₀|이다. 아쉽게도 선분 TB의 길이는 모른다. 하지만 점 x₀에서 함수의 미분계수를 구하면 접선의 기울기, 즉 접선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 탄젠트를 안다. 이 각은 각 ATB와 크기가 같다. 동위각이기 때문이다.

이제 선분 TA의 길이와 각 ATB의 크기를 안다. 탄젠트는 밑변에 대한 높이의 비라는 것을 떠올리면 다음이 성립한다.

$$\tan (\sphericalangle ATB)=\frac{\overline{AB}}{\overline{TA}}$$

$\tan (\sphericalangle ATB)$와 $\overline{TA}$를 알고 $\overline{AB}$를 구하려고 한다. 그래서 $\overline{AB}$에 대해 정리한다.

$$\overline{AB}=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot \overline{TA}$$

먼저 길이 $\overline{TA}$에 |x − x₀|을 대입한다.

$$\overline{AB}=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

그리고 $\tan (\sphericalangle ATB)$에 점 x₀에서 함수 f의 미분계수, 즉 f′(x₀)을 대입한다.

$$\overline{AB}=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

이것으로 선분 AB의 길이를 구했다. 그림에서는 x > x₀이고 미분계수가 양수이지만, 일반적으로는 부호가 맞게 나오도록 |x − x₀| 대신 (x − x₀)이라고 쓴다. 그래서 이렇게 쓸 수 있다. 점 x₀의 어떤 구멍 뚫린 근방 O(그 점을 제외한 근방)가 있어서, 이 근방 O의 모든 x에 대해 다음 관계가 성립하면 함수 f는 점 x₀에서 아래로 볼록하다.

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

부등식의 우변 전체는 사실 t(x)의 값과 같다. 그림을 보면 f(x₀)에 선분 AB의 길이를 더하면 t(x)를 얻는다.

변곡점을 찾는 방법

이끌어 내지 않고 결과만 말하면, f′′(x₀)>0이면 함수 f(x)는 점 x₀에서 아래로 볼록하고, f′′(x₀)<0이면 위로 볼록하다. 말로 하면, 어떤 점에서 이계도함수가 양수이면 함수는 그 점에서 아래로 볼록하다.

함수의 극값이 함수의 감소하는 부분과 증가하는 부분을 나눈 것처럼, 변곡점은 함수의 아래로 볼록한 부분과 위로 볼록한 부분을 나눈다. 즉 변곡점은 함수가 아래로 볼록에서 위로 볼록으로, 또는 그 반대로 바뀌는 점이다. 앞에서 어떤 점에서 일계도함수가 0이어도 반드시 극값이 있는 것은 아니라고 했다. 그 점이 변곡점일 수도 있기 때문이다.

변곡점에서는 무엇이 성립해야 할까? 그 점에서 함수가 아래로 볼록에서 위로 볼록으로(또는 그 반대로) 바뀌므로, 그 점에서는 f′′(x)>0도 f′′(x)<0도 성립할 수 없다. 함수가 그 점에서 이계도함수를 가지면 f′′(x) = 0이어야 한다. f′′(x) = 0이고 동시에 f′′′(x) ≠ 0이면 점 x는 변곡점이다. 예를 보자.

함수 f(x) = x³의 변곡점을 구하시오. 그래프는 다음과 같다.

일계도함수, 이계도함수, 삼계도함수를 구한다.

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

x = 0일 때 f′(x) = 0이고, 마찬가지로 f′′(0) = 0이다. 함수의 이계도함수는 점 0에서 0이다. 그런데 삼계도함수는 양수, 즉 0이 아니다. 함수는 점 x = 0에서 변곡점을 가진다. 그래프에서 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 바뀐다는 것을 알 수 있다.