Khảo sát hàm số: tính lồi và tính lõm

Tính lồi và tính lõm của hàm số mô tả hình dạng cong của đồ thị. Hàm số lồi là hàm số có đồ thị với bề lõm hướng lên trên, hàm số lõm là hàm số có đồ thị với bề lõm hướng xuống dưới. Những điểm tại đó đồ thị đổi chiều bề lõm (từ hàm số lồi thành hàm số lõm hoặc ngược lại) gọi là điểm uốn.

Hàm số lồi và hàm số lõm là gì

Nhìn đồ thị, thường thấy ngay hàm số là lồi hay lõm. Hàm số lồi (đồ thị có bề lõm hướng lên trên) trông như một “lòng chảo”, còn hàm số lõm (đồ thị có bề lõm hướng xuống dưới) trông như một ngọn đồi. Người ta còn nói vui rằng đồ thị của hàm số lồi thì rót cà phê vào được. Sau đây là ba ví dụ về các hàm số quen thuộc.

Cách xét hàm số lồi hay lõm

Bây giờ ta cần tìm cách xác định hàm số lồi hay lõm trên một khoảng cho trước. Muốn vậy ta cần thêm một hình nữa:

Hàm số bậc hai này lồi (bề lõm hướng lên trên) trên toàn bộ tập xác định. Bạn nhận thấy gì khi nhìn vào tất cả các tiếp tuyến mà tôi vẽ trên hình? Với mỗi tiếp tuyến, mọi điểm của đồ thị hàm số bậc hai đều nằm phía trên tiếp tuyến đó, trừ đúng một điểm là tiếp điểm. Ta có thể vẽ hình tương tự cho hàm số ngược dấu −x²; ở đó tình hình đảo lại và mọi điểm đều nằm phía dưới tiếp tuyến:

Trước khi giải thích tiếp, hãy xem hình sau:

Hàm số f(x) = x² trên hình là hàm số lồi. Ta đã biết rằng với hàm số lồi, mọi điểm của đồ thị đều nằm phía trên tiếp tuyến. Ở đây điều đó được thoả mãn: ta có tiếp tuyến t và các điểm của đồ thị nằm phía trên tiếp tuyến này. Vấn đề bây giờ là làm sao tính toán để chứng tỏ các điểm đó nằm phía trên tiếp tuyến.

Cho điểm x₀, tại điểm (x₀; f(x₀)) ta vẽ tiếp tuyến t của đồ thị. Trên hình, điểm có toạ độ (x₀; f(x₀)) là điểm T màu đỏ. Tiếp theo ta chọn trên trục hoành một điểm x khác. Trên hình đó là điểm màu xanh lá. Điểm (x; f(x)) (trên hình là điểm F màu xanh lá) phải nằm phía trên tiếp tuyến t. Vì hàm số x² lồi trên toàn bộ tập xác định nên dù lấy phần tử x ∈ D nào, điểm (x; f(x)) cũng phải nằm phía trên tiếp tuyến.

Viết điều đó bằng công thức thế nào? Trên hình có tiếp tuyến t. Hãy hình dung hàm số bậc nhất t(x) có đồ thị chính là tiếp tuyến t. Khi đó, chẳng hạn, giá trị tại điểm x₀ là t(x₀) = f(x₀), vì tại điểm này hai hàm số bằng nhau (hai đồ thị có điểm chung tại đây).

Bây giờ có thể biểu diễn bằng công thức. Viết thế nào để nói rằng đồ thị của một hàm số nằm phía trên đồ thị của hàm số kia? Đơn giản là f(x) > t(x). Nhìn hình: tại điểm x, tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị, vì f(x) > t(x).

Vì đã biết hàm số f nên ta biết các giá trị f(x₀) và f(x). Để biết có f(x) > t(x) hay không, chỉ cần tìm độ dài đoạn thẳng màu tím AB. Tìm bằng cách nào? Ta biết độ dài đoạn thẳng TA, đó là |x − x₀|. Tiếc là ta không biết độ dài đoạn thẳng TB. Tuy nhiên, nếu tính đạo hàm của hàm số tại điểm x₀, ta được hệ số góc của tiếp tuyến, tức là tang của góc mà tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox, và góc này bằng góc ATB, vì đó là hai góc đồng vị.

Bây giờ ta biết độ dài đoạn thẳng TA và số đo góc ATB. Nhắc lại rằng tang bằng tỉ số giữa cạnh góc vuông đối và cạnh góc vuông kề, nên:

$$\tan (\sphericalangle ATB)=\frac{AB}{TA}$$

Ta biết $\tan (\sphericalangle ATB)$ và TA, cần tính AB. Ta rút AB ra:

$$AB=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot TA$$

Trước hết ta thay độ dài TA bằng |x − x₀|:

$$AB=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

Rồi thay $\tan (\sphericalangle ATB)$ bằng đạo hàm của hàm số f tại điểm x₀, tức là f′(x₀):

$$AB=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Như vậy ta đã tính được độ dài đoạn thẳng AB. Trên hình x > x₀ và đạo hàm dương, nhưng trong trường hợp tổng quát ta viết (x − x₀) thay cho |x − x₀| để được đúng dấu. Vậy có thể phát biểu: hàm số f lồi tại điểm x₀ nếu tồn tại một lân cận thủng O của điểm x₀ sao cho với mọi x thuộc lân cận O ta có:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

Thực ra toàn bộ vế phải của bất đẳng thức chính là giá trị t(x). Nhìn hình, nếu cộng độ dài đoạn thẳng AB vào f(x₀), bạn được đúng t(x).

Cách tìm điểm uốn

Không chứng minh, ta phát biểu rằng hàm số f(x) lồi tại điểm x₀ (bề lõm hướng lên trên) nếu f′′(x₀)>0, và lõm (bề lõm hướng xuống dưới) nếu f′′(x₀)<0. Nói bằng lời: nếu đạo hàm cấp hai tại một điểm dương thì đồ thị hàm số tại điểm đó có bề lõm hướng lên trên.

Giống như điểm cực trị ngăn cách phần hàm số nghịch biến và phần hàm số đồng biến, điểm uốn ngăn cách phần đồ thị có bề lõm hướng lên và phần có bề lõm hướng xuống. Như vậy điểm uốn là điểm tại đó đồ thị đổi chiều bề lõm. Trước đây ta đã nói rằng dù đạo hàm cấp một tại một điểm bằng 0, chưa chắc tại đó đã có cực trị. Tại đó có thể là một điểm uốn.

Tại điểm uốn phải có điều gì? Tại điểm đó đồ thị đổi chiều bề lõm, nên tại đó không thể có f′′(x)>0, cũng không thể có f′′(x)<0. Vậy nếu hàm số có đạo hàm cấp hai tại điểm đó thì phải có f′′(x) = 0. Nếu f′′(x) = 0 và đồng thời f′′′(x) ≠ 0 thì x là điểm uốn. Ví dụ:

Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số f(x) = x³. Đồ thị:

Tính đạo hàm cấp một, cấp hai và cấp ba:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

Ta thấy f′(x) = 0 khi x = 0, và cũng có f′′(0) = 0. Đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm 0 bằng 0. Trong khi đó đạo hàm cấp ba dương, tức là khác 0. Vậy x = 0 là điểm uốn. Từ đồ thị ta thấy tại đó bề lõm đổi từ hướng xuống dưới sang hướng lên trên.