Garis berat segitiga

Garis berat segitiga adalah ruas garis yang menghubungkan titik sudut segitiga dengan titik tengah sisi di hadapannya. Segitiga memiliki tepat tiga garis berat, dan titik potongnya adalah titik berat segitiga.

Contoh

Perhatikan segitiga berikut beserta garis-garis beratnya: Setiap garis berat ditandai dengan warna merah. Garis berat ditandai dengan huruf kecil m dengan indeks bawah yang menunjukkan sisi dan titik sudut yang bersesuaian dengan garis berat tersebut (huruf t dipakai untuk garis tinggi). Karena di hadapan titik sudut A terletak sisi a, garis beratnya diberi nama m_a.

Garis berat membagi segitiga menjadi dua segitiga yang luasnya sama. Berbeda dengan garis tinggi segitiga, garis berat terlihat sama pada semua jenis segitiga.

Titik tengah ruas garis

Ketiga titik M_a, M_b, dan M_c adalah titik tengah sisi-sisi segitiga, yaitu titik tengah ruas-ruas garis tersebut. Titik tengah dapat dilukis dengan jangka dan penggaris. Misalnya, titik tengah sisi AB dapat ditemukan dengan melukis dua lingkaran yang sama besar dengan pusat di titik sudut A dan B. Jari-jari kedua lingkaran harus lebih besar daripada setengah panjang ruas garis AB — tetapi jari-jarinya harus sama untuk kedua lingkaran! Perkirakan saja, atau lukis lingkaran dengan jari-jari sepanjang sisi AB. Kedua lingkaran ini berpotongan di dua titik. Hubungkan kedua titik itu dengan ruas garis. Titik potong ruas garis ini dengan sisi AB adalah titik tengah sisi AB.

Pada gambar segitiga sebelumnya, titik berat segitiga ditandai dengan warna hijau. Titik berat adalah semacam titik pusat segitiga.

Titik berat

Ketiga garis berat selalu berpotongan di satu titik. Dengan cara ini, kamu dapat memeriksa apakah lukisanmu benar. Jika garis-garis beratnya berpotongan di tempat yang berbeda, lukisanmu kurang teliti atau sama sekali keliru. Titik berat selalu terletak di dalam segitiga, berbeda dengan titik tinggi yang dapat terletak di luar segitiga.

Titik berat adalah semacam titik pusat segitiga: jika kamu ingin menopang segitiga di ujung pensil, pensil harus diletakkan tepat di bawah titik berat agar segitiga tidak jatuh.

Titik berat juga membagi setiap garis berat dengan perbandingan 1 : 2. Artinya, dua pertiga panjang garis berat terletak di satu sisi titik berat, dan sepertiga sisanya di sisi lainnya. Bagian yang lebih panjang selalu berada di sisi titik sudut segitiga, sedangkan bagian yang lebih pendek berada di sisi alas. Perhatikan gambar berikut:

Panjang ruas garis AG (ruas garis biru) dua kali panjang ruas garis GM_a (ruas garis hijau). Ruas garis AD, DG, dan GM_a sama panjang. Hal yang sama berlaku untuk garis berat lainnya.

Garis tengah segitiga

Garis tengah segitiga adalah ruas garis yang menghubungkan titik tengah dua sisi segitiga (jangan dikacaukan dengan garis tengah lingkaran, yaitu diameter). Perhatikan gambar berikut:

Titik M_a, M_b, dan M_c adalah titik tengah sisi-sisi segitiga, sama seperti pada garis berat. Untuk membuat garis tengah, kita cukup menghubungkan setiap dua titik ini dengan ruas garis. Garis tengah ditandai dengan huruf s dengan indeks bawah berupa titik sudut di hadapannya. Segitiga yang terbentuk disebut segitiga titik tengah. Menariknya, titik berat segitiga titik tengah sama dengan titik berat segitiga semula. Dalam contoh kita, titik beratnya adalah titik G.

Menghitung panjang garis berat

Untuk menghitung panjang garis berat, kita dapat menggunakan teorema Apollonius. Misalkan a, b, c adalah panjang sisi-sisi segitiga, dan m_a, m_b, dan m_c adalah panjang garis-garis beratnya:

$$\begin{array}{rcl}{m}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ m_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ m_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$