Медиана на триъгълник

Медианата на триъгълник е отсечка, която свързва връх на триъгълника със средата на срещуположната страна. Триъгълникът има точно три медиани и пресечната им точка е медицентърът на триъгълника.

Пример

Погледни следния триъгълник с отбелязани медиани: В червено са отбелязани отделните медиани. Подобно на височините на триъгълниците и тук означаваме медианите с малката буква m с долен индекс, който уточнява към коя страна и кой връх се отнася медианата. Тъй като срещу върха A имаме страната a, медианата ще се означава с m_a.

Медианата разделя дадения триъгълник на два триъгълника с равни лица. За разлика от височината на триъгълник медианите изглеждат еднакво при всички видове триъгълници.

Среда на отсечка

Трите точки M_a, M_b и M_c са средите на дадените страни, на дадените отсечки. Средата можеш да построиш графично с пергел и линийка. Например средата на страната AB намираш, като начертаеш две окръжности с еднакъв радиус с център във върховете A и B. Тези окръжности трябва да имат радиус, по-голям от половината от дължината на отсечката AB – но този радиус трябва да е един и същ и при двете окръжности! Или го прецени на око, или начертай окръжност с радиус, равен на дължината на страната AB. Двете окръжности се пресичат в две точки. Тези точки свържи с отсечка и където тази отсечка пресича страната AB, там е средата на страната AB.

Със зелено на фигурата е откроен медицентърът на триъгълника, който е условният център на триъгълника.

Медицентър

Всички медиани винаги се пресичат в една точка. Така познаваш дали си чертал правилно. Ако не се пресичат в една точка, чертал си или неточно, или напълно погрешно. Медицентърът винаги се намира вътре в триъгълника, за разлика от ортоцентъра, който може да се намира и извън триъгълника.

Медицентърът е условният център на триъгълника: ако искаш да задържиш триъгълник върху върха на молив, трябва да поставиш молива точно под медицентъра, за да не ти падне триъгълникът.

Медицентърът дели дължините на медианите в отношение 1:2. Това означава, че две трети от дължината на медианата са от едната страна на медицентъра, а останалата една трета – от другата страна. По-дългата част на медианата е винаги по посока „към върха“ на триъгълника. „До страната“ е, напротив, по-късата част. Погледни фигурата:

Дължината на отсечката AG (синята отсечка) е два пъти по-голяма от дължината на отсечката GM_a (зелената отсечка). При това отсечките AD, DG и GM_a имат една и съща дължина. Подобно е и за останалите медиани.

Средна отсечка

Средната отсечка е отсечка, чиито крайни точки са средите на две от страните на триъгълника. Разгледай фигурата:

Точките M_a, M_b и M_c са средите на страните, това остана същото както при медианите. За да получим средна отсечка, просто свързахме с отсечка всеки две от тези точки. Средните отсечки записваме с крайните им точки, например M_aM_b. Триъгълникът, който се получава, се нарича медиален триъгълник. Любопитно е, че медицентърът на този медиален триъгълник е същият като на първоначалния триъгълник. В нашия случай това е точката G.

Пресмятане на дължината на медиана

За пресмятане на дължината на медианата можем да използваме теоремата на Аполоний. Нека сега предположим, че a, b, c са дължините на съответните страни на триъгълника, подобно m_a, m_b и m_c са дължините на медианите:

$$\begin{array}{rcl}{m}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ m_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ m_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$