Đường trung tuyến của tam giác

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Tam giác có đúng ba đường trung tuyến, và giao điểm của chúng là trọng tâm của tam giác.

Minh hoạ

Hãy xem tam giác sau với các đường trung tuyến: Các đường trung tuyến được vẽ màu đỏ. Giống như với đường cao của tam giác, đường trung tuyến được kí hiệu bằng chữ in thường m với chỉ số dưới cho biết đường trung tuyến ứng với cạnh nào và đỉnh nào. Vì đối diện đỉnh A là cạnh a nên đường trung tuyến kẻ từ đỉnh này có tên là m_a.

Mỗi đường trung tuyến chia tam giác thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Khác với đường cao của tam giác, đường trung tuyến trông giống nhau ở mọi loại tam giác.

Trung điểm của đoạn thẳng

Ba điểm M_a, M_b và M_c là trung điểm của các cạnh tương ứng. Có thể dựng trung điểm bằng com-pa và thước kẻ. Chẳng hạn, để tìm trung điểm của cạnh AB, vẽ hai đường tròn bằng nhau có tâm tại hai đỉnh A và B. Bán kính của hai đường tròn phải lớn hơn một nửa độ dài đoạn thẳng AB – và hai đường tròn phải có cùng bán kính! Có thể ước lượng bán kính, hoặc vẽ đường tròn có bán kính bằng độ dài cạnh AB. Hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm. Nối hai điểm đó bằng một đoạn thẳng; giao điểm của đoạn thẳng này với cạnh AB là trung điểm của cạnh AB.

Trên hình, trọng tâm của tam giác được tô màu xanh lá; có thể hình dung trọng tâm là “điểm giữa” của tam giác.

Trọng tâm

Ba đường trung tuyến luôn cắt nhau tại một điểm. Nhờ đó có thể kiểm tra mình vẽ có đúng không. Nếu chúng không cắt nhau tại một điểm thì hoặc vẽ chưa chính xác, hoặc vẽ sai hoàn toàn. Trọng tâm luôn nằm bên trong tam giác, khác với trực tâm có thể nằm cả bên ngoài tam giác.

Trọng tâm là “điểm giữa” của tam giác: nếu muốn đỡ một tấm bìa hình tam giác trên đầu bút chì mà không để nó rơi, phải đặt bút chì đúng dưới trọng tâm.

Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ số 1 : 2. Nghĩa là hai phần ba độ dài đường trung tuyến nằm về một phía của trọng tâm, một phần ba còn lại nằm về phía kia. Phần dài hơn luôn ở phía đỉnh của tam giác, phần ngắn hơn ở phía cạnh. Hãy xem hình:

Đoạn thẳng AG (màu xanh dương) dài gấp đôi đoạn thẳng GM_a (màu xanh lá). Đồng thời các đoạn thẳng AD, DG và GM_a dài bằng nhau. Các đường trung tuyến khác cũng tương tự.

Đường trung bình

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng có hai đầu mút là trung điểm của hai cạnh của tam giác. Hãy xem hình:

Các điểm M_a, M_b và M_c là trung điểm của các cạnh, giống như khi nói về đường trung tuyến. Để có đường trung bình, ta chỉ cần nối hai trong các điểm này bằng một đoạn thẳng. Trên hình, các đường trung bình được kí hiệu bằng chữ s với chỉ số dưới là tên đỉnh đối diện. Ba đường trung bình tạo thành một tam giác có ba đỉnh là trung điểm ba cạnh của tam giác ban đầu. Điều thú vị là trọng tâm của tam giác này trùng với trọng tâm của tam giác ban đầu. Trong ví dụ trên, đó là điểm G.

Tính độ dài đường trung tuyến

Để tính độ dài đường trung tuyến, có thể dùng công thức đường trung tuyến (định lí Apollonius). Giả sử a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, còn m_a, m_b và m_c là độ dài các đường trung tuyến:

$$\begin{array}{rcl}{m}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ m_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ m_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$