삼각형의 중선

삼각형의 중선은 삼각형의 꼭짓점과 그 맞은편 변의 중점을 잇는 선분이다. 삼각형에는 중선이 세 개 있고, 세 중선의 교점이 삼각형의 무게중심이다.

예

중선을 표시한 다음 삼각형을 보자.

각 중선을 빨간색으로 표시했다. 삼각형의 높이와 마찬가지로 중선도 소문자 m에 아래 첨자를 붙여 나타낸다. 아래 첨자는 그 중선이 어느 변과 어느 꼭짓점에 해당하는지를 나타낸다. 꼭짓점 A의 맞은편 변이 a이므로 중선의 이름도 m_a이다.

중선은 삼각형을 넓이가 같은 두 삼각형으로 나눈다. 삼각형의 높이와 달리 중선은 삼각형의 종류와 상관없이 모양이 같다.

선분의 중점

세 점 M_a, M_b, M_c는 각 변, 즉 각 선분의 중점이다. 중점은 컴퍼스와 자로 작도해서 찾을 수 있다. 예를 들어 변 AB의 중점은 다음과 같이 찾는다. 꼭짓점 A와 B를 중심으로 크기가 같은 두 원을 그린다. 두 원의 반지름은 선분 AB의 길이의 절반보다 커야 하고, 두 원의 반지름이 같아야 한다! 어림잡아 정하거나 반지름을 변 AB의 길이로 해서 원을 그리면 된다. 두 원은 두 점에서 만난다. 이 두 점을 선분으로 이으면, 이 선분이 변 AB와 만나는 곳이 변 AB의 중점이다.

그림에서 초록색으로 표시한 것이 삼각형의 무게중심이다. 말하자면 삼각형의 가운데이다.

무게중심

세 중선은 언제나 한 점에서 만난다. 이것으로 제대로 그렸는지 확인할 수 있다. 중선이 서로 다른 곳에서 만나면 부정확하게 그렸거나 완전히 잘못 그린 것이다. 무게중심은 언제나 삼각형 안에 있다. 삼각형 밖에 있을 수도 있는 수심과는 다르다.

무게중심은 말하자면 삼각형의 가운데이다. 연필 끝으로 삼각형을 받치려면 삼각형이 떨어지지 않도록 연필을 무게중심 아래에 두어야 한다.

또 무게중심은 중선의 길이를 2 : 1로 나눈다. 즉 중선 길이의 3분의 2는 무게중심의 한쪽에, 나머지 3분의 1은 다른 쪽에 있다. 중선의 긴 부분은 언제나 삼각형의 “꼭짓점 쪽”에 있고, 짧은 부분은 “변 쪽”에 있다. 그림을 보자.

선분 AG(파란 선분)의 길이는 선분 GM_a(초록 선분)의 길이의 두 배이다. 이때 선분 AD, DG, GM_a의 길이는 모두 같다. 다른 중선도 마찬가지이다.

중점을 연결한 선분

삼각형의 두 변의 중점을 이은 선분을 살펴보자. 다음 그림을 보자.

점 M_a, M_b, M_c는 중선에서와 마찬가지로 각 변의 중점이다. 이 중점들을 두 개씩 선분으로 이었을 뿐이다. 이 선분은 문자 s에 맞은편 꼭짓점을 아래 첨자로 붙여 나타낸다. 이렇게 생기는 삼각형을 중점삼각형이라고 한다. 흥미롭게도 이 중점삼각형의 무게중심은 원래 삼각형의 무게중심과 같다. 이 예에서는 점 G이다.

중선의 길이 구하기

중선의 길이는 중선정리(파푸스의 정리)를 이용해 구할 수 있다. a, b, c가 삼각형의 각 변의 길이이고, m_a, m_b, m_c가 중선의 길이라고 하자.

$$\begin{array}{rcl}{m}_a& =& \sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\\ m_b& =& \sqrt{\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}}\\ m_c& =& \sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}}\end{array}$$