Kesebangunan segitiga

Segitiga-segitiga yang sebangun memiliki bentuk yang sama, tetapi ukurannya bisa berbeda. Segitiga yang satu adalah salinan yang diperbesar atau diperkecil dari segitiga yang lain, seperti saat kamu memperbesar gambar dengan mesin fotokopi. Salinannya boleh diputar atau dibalik, dan hal itu tidak mengubah kesebangunan.

Pada segitiga-segitiga yang sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama. Pada gambar, sisi a' dua kali lebih panjang daripada sisi a, sisi b' dua kali lebih panjang daripada b, dan c' dua kali lebih panjang daripada c. Bilangan ini disebut faktor kesebangunan dan ditandai dengan k. Setiap sisi menjadi k kali lebih panjang:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

Pada gambar, k = 2. Jika k kurang dari satu, misalnya $k=\frac{1}{2}$, segitiga kedua justru diperkecil. Kesebangunan ditulis seperti ini:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Seperti pada kekongruenan, urutan titik sudut menunjukkan pasangan yang bersesuaian: titik sudut A bersesuaian dengan titik sudut A', B dengan B', dan C dengan C'. Segitiga-segitiga yang kongruen sebenarnya adalah kasus khusus segitiga sebangun dengan faktor k = 1: salinannya tidak lebih besar dan tidak lebih kecil.

Sifat-sifat kesebangunan

Kita dapat mengetahui apakah dua segitiga sebangun tanpa memeriksa semua sudut dan semua sisi. Sifat-sifat kesebangunan mirip dengan sifat-sifat kekongruenan, hanya saja yang kita cari bukan sisi-sisi yang sama panjang, melainkan perbandingan sisi yang sama.

Sifat sudut-sudut (sd-sd): Jika dua segitiga memiliki dua pasang sudut yang sama besar, kedua segitiga itu sebangun. Kita tidak perlu mengukur sudut ketiga. Jumlah sudut dalam segitiga selalu 180°, jadi sudut ketiganya pasti juga sama besar.

Sifat sisi-sisi-sisi (s-s-s): Jika pada dua segitiga ketiga perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama, kedua segitiga itu sebangun:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Sifat sisi-sudut-sisi (s-sd-s): Cukup jika dua sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama dan sudut yang diapit kedua sisi itu sama besar.

Contoh: berapa tinggi pohon

Di kebun kita tumbuh pohon yang tinggi, dan kita ingin tahu berapa tepatnya tingginya. Memanjat sampai ke puncak sambil membawa meteran tentu tidak menyenangkan. Karena itu, kita tancapkan sebuah tongkat tegak setinggi 2 meter ke tanah. Bayangan tongkat panjangnya 1,5 meter, dan pada saat yang sama bayangan pohon panjangnya 12 meter.

Pohon, bayangannya, dan sinar matahari membentuk sebuah segitiga. Segitiga kedua dibentuk oleh tongkat, bayangannya, dan sinar matahari. Tongkat dan pohon sama-sama tegak lurus terhadap tanah, jadi kedua segitiga memiliki sudut siku-siku di pangkalnya. Pada saat yang sama, sinar matahari jatuh dengan sudut yang sama, sehingga sudut di ujung bayangan juga sama besar pada kedua segitiga. Ada dua pasang sudut yang sama besar, jadi menurut sifat sd-sd kedua segitiga sebangun.

Faktor kesebangunan kita baca dari bayangannya: bayangan pohon k kali lebih panjang daripada bayangan tongkat:

$$k=12:1,5$$

Kita bagi:

$$k=8$$

Jadi, pohon delapan kali lebih tinggi daripada tongkat. Tinggi pohon adalah

$$t=8\cdot 2$$

Kita kalikan:

$$t=16\text{m}$$

Tinggi pohon 16 meter. Kebenarannya kita periksa dengan perbandingan tinggi dan bayangan, yang harus sama pada kedua segitiga. Pada tongkat $2:1,5=\frac{4}{3}$, dan pada pohon $16:12=\frac{4}{3}$. Cocok.

Hati-hati dengan luas

Ada godaan untuk menyimpulkan bahwa jika sisi-sisinya k kali lebih panjang, luasnya juga k kali lebih besar. Itu keliru. Luasnya bertambah k² kali.

Coba bayangkan segitiga yang semua sisinya dua kali lebih panjang. Jika titik-titik tengah sisinya dihubungkan, segitiga itu terbagi menjadi empat segitiga, dan masing-masing tepat sama dengan segitiga semula:

Jadi, dengan faktor kesebangunan k = 2, luasnya empat kali lebih besar, bukan dua kali. Secara umum, luas segitiga A'B'C' adalah

$$L^{\prime }=k^2\cdot L,$$

dengan L luas segitiga semula. Untuk k = 3, luasnya sembilan kali lebih besar. Sama seperti foto: jika lebar dan tingginya diperbesar dua kali, kertas yang diperlukan empat kali lebih banyak.

Lihat juga

• Kekongruenan segitiga
• Perbandingan
• Perbandingan senilai dan berbalik nilai