Juring lingkaran

Juring lingkaran adalah potongan lingkaran yang bentuknya seperti sepotong pizza atau kue. Kamu memotongnya dengan dua irisan yang berawal di pusat dan berakhir di tepi. Jadi, juring dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur lingkaran di antara keduanya.

Juring itu sendiri diberi warna merah, dan luasnya yang akan kita hitung. Ruas garis hitam adalah dua jari-jari r, yaitu dua irisan pisau. Warna jingga menandai sudut α yang dibentuk oleh kedua jari-jari. Sudut ini disebut sudut pusat, karena titik sudutnya berada di pusat lingkaran. Warna biru menandai busur l, yaitu bagian keliling lingkaran yang membatasi juring dari luar. Pada pizza, busur ini adalah pinggirannya.

Rumus juring

Jika kamu hanya mencari rumusnya, luas juring lingkaran L dengan jari-jari r dan sudut pusat α dalam derajat dihitung dengan

$$L=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Panjang busur l pada juring yang sama dihitung dengan

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Misalnya, juring dengan jari-jari r = 6 dan sudut pusat α = 60° memiliki luas

$$L=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

dan panjang busurnya

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Jika kamu tidak suka hasil yang masih memuat pi, kamu dapat menggantinya dengan nilai pendekatan 3,14:

$$L\approx 6\cdot 3,14=18,84,l\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Dari mana rumus ini berasal?

Satu lingkaran penuh membentuk sudut 360° di sekeliling pusatnya. Juring menempati bagian lingkaran sebesar bagian sudut pusatnya dari 360°. Juring dengan sudut 90° adalah seperempat lingkaran, karena 90° adalah seperempat dari 360°. Juring dengan sudut 180° adalah setengah lingkaran, dengan sudut 270° tiga perempat lingkaran, dan dengan sudut 360° satu lingkaran penuh:

Jadi, bagian lingkaran yang ditempati juring dinyatakan oleh pecahan

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

Untuk sudut 90° diperoleh $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, untuk 60° diperoleh $\frac{1}{6}$. Luas juring adalah bagian yang sama dari luas seluruh lingkaran. Luas lingkaran adalah

$$L_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

sehingga luas juring kita peroleh dengan mengalikannya dengan pecahan tadi:

$$L=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot L_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Busur bekerja dengan cara yang persis sama. Makin lebar sudutnya, makin panjang pula busur birunya, dan pada sudut 360° busur itu menjadi satu lingkaran penuh. Karena itu, busur adalah bagian dari keliling lingkaran yang sama besar dengan bagian sudut α dari 360°. Keliling lingkaran adalah

$$K=2\cdot \pi \cdot r,$$

sehingga panjang busurnya

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot K=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Contoh soal: pizza

Sebuah pizza berdiameter 32 cm dipotong menjadi 8 potong yang sama besar. Berapa luas satu potong?

Setiap potong adalah juring lingkaran. Pertama, kita perlu sudut pusatnya. Delapan potong yang sama besar membagi rata seluruh 360°, jadi satu potong memiliki sudut

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Sekarang awas jebakan: 32 cm adalah diameter pizza, bukan jari-jarinya. Rumusnya memerlukan jari-jari, yaitu setengah diameter, jadi r = 16 cm. Kita substitusikan ke rumus luas juring:

$$L=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

Pecahannya disederhanakan menjadi seperdelapan. Ini masuk akal, karena satu potong adalah seperdelapan pizza. Kita kuadratkan 16:

$$L=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Bilangan 256 kita bagi dengan 8:

$$L=32\pi$$

Terakhir, kita substitusikan nilai pendekatan pi:

$$L\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Luas satu potong kira-kira 100,48 sentimeter persegi. Jika seseorang keliru memasukkan seluruh diameter 32 cm ke dalam rumus, hasilnya empat kali lebih besar, yaitu lebih dari empat ratus sentimeter persegi. Satu potong pizza seperti itu cukup untuk makan sekeluarga.

Contoh soal: jam dinding

Jarum menit sebuah jam dinding panjangnya 15 cm. Berapa sentimeter jarak yang ditempuh ujung jarum itu dalam 20 menit?

Ujung jarum bergerak pada lingkaran yang jari-jarinya sama dengan panjang jarum, jadi r = 15 cm. Jarak yang ditempuhnya adalah busur biru l. Kita masih memerlukan sudutnya. Dalam 60 menit, jarum menit berputar satu putaran penuh, yaitu 360°. Dalam 20 menit, jarum itu menempuh sepertiga putaran:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Kita substitusikan ke rumus panjang busur:

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

Pecahannya sama dengan sepertiga, dan 2 · 15 = 30:

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Kita substitusikan nilai pendekatan pi:

$$l\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

Dalam 20 menit, ujung jarum menit menempuh jarak kira-kira 31,4 cm.

Jika busurnya diketahui dan sudutnya dicari

Kadang-kadang soalnya terbalik: jari-jari dan panjang busur diketahui, dan kita ingin mencari sudut pusatnya. Kita mulai dari rumus panjang busur, lalu menyatakan sudut α:

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Contoh soal: Sebuah mobil masuk ke bundaran dan melaju pada lingkaran berjari-jari 10 meter. Sebelum keluar dari bundaran, mobil itu menempuh 15,7 meter di sepanjang lingkaran. Berapa besar sudut putaran mobil terhadap pusat bundaran?

Kita substitusikan l = 15,7, r = 10, dan 3,14 untuk pi, karena panjang busur pada soal juga merupakan nilai pendekatan:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Kita kalikan penyebutnya:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Bilangan 15,7 tepat seperempat dari 62,8, sehingga pecahannya dapat disederhanakan:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Mobil itu berputar sebesar 90°, jadi menempuh seperempat bundaran. Kita dapat memeriksa perhitungannya: seperempat keliling adalah $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ meter. Hasilnya cocok.

Sudut dalam radian

Jika sudutnya diketahui dalam radian, rumusnya menjadi lebih sederhana. Satu lingkaran penuh adalah 360° = 2π radian, sehingga pecahan yang menyatakan bagian lingkaran yang ditempati juring adalah $\frac{\alpha }{2\pi }$. Setelah disubstitusikan, pi saling menghilangkan:

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$L=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Perhatikan bahwa rumus yang lebih singkat ini memerlukan sudut dalam radian, bukan dalam derajat. Jika kamu memasukkan, misalnya, 45, hasilnya tidak masuk akal.

Sebagai contoh, potongan pizza dari contoh di atas memiliki sudut 45°, yaitu $\frac{\pi }{4}$ radian. Luas potongan itu adalah $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, sama seperti sebelumnya.

Kalkulator

Luas juring dan panjang busur juga dapat kamu hitung di sini. Sudutnya dapat dimasukkan dalam derajat maupun radian, dan satuan setiap kolom dapat kamu ganti.

Lihat juga

• Luas lingkaran
• Keliling lingkaran
• Lingkaran
• Ukuran radian