Hình quạt tròn

Hình quạt tròn là một phần của hình tròn, trông như một miếng bánh pizza hay bánh ga-tô. Ta cắt miếng đó ra bằng hai nhát dao đi từ tâm ra đến mép. Như vậy hình quạt có biên gồm hai bán kính và cung tròn nằm giữa chúng.

Phần tô màu đỏ là chính hình quạt, ta sẽ tính diện tích của nó. Hai đoạn thẳng màu đen là hai bán kính r, tức là hai nhát dao. Màu cam đánh dấu góc α tạo bởi hai bán kính. Góc này gọi là góc ở tâm, vì đỉnh của nó nằm ở tâm hình tròn. Màu xanh dương là cung l, phần đường tròn bao hình quạt ở phía ngoài; với bánh pizza, đó là phần vỏ bánh.

Công thức về hình quạt tròn

Nếu chỉ cần công thức: hình quạt tròn bán kính r, góc ở tâm α tính bằng độ, có diện tích S bằng

$$S=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Độ dài cung l của hình quạt đó bằng

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Chẳng hạn, hình quạt có bán kính r = 6 và góc ở tâm α = 60° có diện tích

$$S=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

và cung của nó dài

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

Nếu không muốn để số pi trong kết quả, có thể thay pi bằng giá trị gần đúng 3,14:

$$S\approx 6\cdot 3,14=18,84,l\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Cách suy ra công thức

Cả hình tròn ứng với góc 360° quanh tâm. Hình quạt chiếm một phần hình tròn đúng bằng phần mà góc ở tâm của nó chiếm trong 360°. Hình quạt có góc 90° là một phần tư hình tròn, vì 90° bằng một phần tư của 360°. Hình quạt có góc 180° là nửa hình tròn, góc 270° là ba phần tư, còn góc 360° là cả hình tròn:

Như vậy, phần hình tròn mà hình quạt chiếm bằng phân số

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

Với góc 90° ta được $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, với 60° thì được $\frac{1}{6}$. Diện tích hình quạt cũng chiếm đúng phần ấy của diện tích cả hình tròn. Diện tích hình tròn là

$$S_{\circ }=\pi \cdot r^2,$$

nên muốn có diện tích hình quạt, ta nhân diện tích này với phân số trên:

$$S=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot S_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Với cung tròn cũng hoàn toàn tương tự. Khi góc mở rộng ra, cung màu xanh dương cũng dài ra, và khi góc bằng 360° thì cung trở thành cả đường tròn. Vì vậy cung chiếm một phần độ dài đường tròn đúng bằng phần mà góc α chiếm trong 360°. Độ dài đường tròn là

$$C=2\cdot \pi \cdot r,$$

do đó độ dài cung bằng

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot C=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Ví dụ: bánh pizza

Một chiếc bánh pizza có đường kính 32 cm, được cắt thành 8 miếng bằng nhau. Tính diện tích một miếng.

Mỗi miếng là một hình quạt tròn. Trước hết cần biết góc ở tâm của nó. Tám miếng bằng nhau chia đều cả 360°, nên mỗi miếng có góc

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

Chú ý chỗ dễ nhầm: 32 cm là đường kính của bánh, không phải bán kính. Công thức lại cần bán kính, mà bán kính bằng nửa đường kính, tức là r = 16 cm. Thay vào công thức tính diện tích hình quạt:

$$S=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

Phân số rút gọn thành một phần tám, điều này hợp lí vì mỗi miếng là một phần tám chiếc bánh. Bình phương 16:

$$S=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

Chia 256 cho 8:

$$S=32\pi$$

Cuối cùng thay giá trị gần đúng của pi:

$$S\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Mỗi miếng có diện tích xấp xỉ 100,48 cm². Nếu ai đó lỡ thay cả đường kính 32 cm vào công thức thì sẽ được miếng bánh lớn gấp 4 lần, tức là hơn 400 cm². Đó sẽ là chiếc pizza đủ cho cả nhà ăn no.

Ví dụ: đồng hồ

Kim phút của một chiếc đồng hồ treo tường dài 15 cm. Trong 20 phút, đầu kim phút đi được bao nhiêu xăng-ti-mét?

Đầu kim chuyển động trên một đường tròn có bán kính bằng độ dài kim, nên r = 15 cm. Quãng đường đầu kim đi được là cung màu xanh dương l. Ta còn cần góc. Trong 60 phút, kim phút quay đủ một vòng, tức là 360°. Trong 20 phút, kim quay được một phần ba vòng:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Thay vào công thức tính độ dài cung:

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

Phân số bằng một phần ba, còn 2 · 15 = 30:

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Thay giá trị gần đúng của pi:

$$l\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

Trong 20 phút, đầu kim phút đi được khoảng 31,4 cm.

Biết cung, tìm góc

Đôi khi bài toán ngược lại: biết bán kính và độ dài cung, cần tìm góc ở tâm. Xuất phát từ công thức độ dài cung, ta biểu diễn góc α:

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Ví dụ: Một chiếc ô tô đi vào vòng xuyến và chạy trên một đường tròn bán kính 10 m. Đến lúc ra khỏi vòng xuyến, xe đã đi được 15,7 m trên đường tròn đó. Hỏi xe đã quay quanh tâm vòng xuyến một góc bao nhiêu?

Thay l = 15,7, r = 10 và lấy pi bằng 3,14, vì độ dài cung đã cho là giá trị gần đúng:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Nhân ở mẫu số:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

Số 15,7 đúng bằng một phần tư của 62,8, nên phân số rút gọn được:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Xe đã quay một góc 90°, tức là đi được một phần tư vòng xuyến. Có thể kiểm tra lại: một phần tư độ dài đường tròn là $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ m. Đúng.

Góc tính bằng radian

Nếu góc cho bằng radian thì các công thức đơn giản hơn. Cả hình tròn ứng với 360° = 2π radian, nên phân số cho biết hình quạt chiếm bao nhiêu phần hình tròn là $\frac{\alpha }{2\pi }$. Thay vào, số pi được giản ước:

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$S=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Chú ý: trong các công thức rút gọn này, góc phải tính bằng radian, không phải bằng độ. Nếu thay vào đó chẳng hạn số 45 thì kết quả sẽ vô nghĩa.

Chẳng hạn, miếng pizza ở ví dụ trên có góc 45°, tức là $\frac{\pi }{4}$ radian. Khi đó diện tích miếng bánh bằng $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$, giống như trước.

Máy tính

Diện tích hình quạt và độ dài cung cũng có thể tính ngay tại đây. Góc có thể nhập bằng độ hoặc radian; đơn vị của từng ô có thể đổi được.

Xem thêm

• Diện tích hình tròn
• Độ dài đường tròn
• Đường tròn
• Số đo radian của góc